|
Постановка проблемы. Перед
решением задач из интерактивного задачника
«Признаки
делимости»
полезно провести эксперименты, связанные с нахождением остатка как
самого числа, так и исследуемой комбинации его цифр. Для этого
предлагается выполнить несколько конструктивных заданий с
инструментами задания линейных комбинаций цифр и вычисления
остатков. |
|
Цели работы. Провести сравнительный анализ остатков от
деления шестизначных чисел и линейных комбинаций их цифр при делении
на заданный делитель. |
|
Задание 1. Проверить признак
делимости на 9
"натуральное число делится на 9
тогда и только тогда, когда сумма цифр его десятичной записи делится на
9". |
|
|
Объясним совпадение
остатков. При доказательстве признака делимости мы представляем число
a5
105
+ a4
104
+
... + a1
10 +
a0
в виде
a5
(99999 + 1)
+ a4
(9999 + 1) +
... + a1
(9 + 1) +
a0
что можно записать в виде
9*(11111 a5
+ 1111 a4
+
... + a1)
+ (a5
+ a4
+
... + a1
+
a0).
Первое слагаемое делится на
9. Значит остаток от деления второго
слагаемого
–
суммы цифр числа
–
будет такой же, как
остаток от деления самого числа (на любое натуральное число).
Такой же принцип модно использовать при выводе других
признаков. |
Пример
теоретического обоснования.
Такой же
принцип модно использовать при выводе других признаков. Рассмотрим, например,
делимость на 7. Для
вывода признака заменим степени
10, входящие в определение
двоичной записи выражениями с остатком от деления на
7:
10=7*1+3; 100=7*14+2.
Получение остатка следующей степени десяти можно получить
из остатка от деления текущей степени умножением на
10
и делением на
7. Например, остаток от
деления
1000
на
7
равен остатку от деления
2*10
на
7,
то есть
6:
1000 = 10*100 = 10*(7*14 + 2) = 7*140 + 2*10 = 7*140 + 7*2 + 6 =
7*142 + 6.
Последующие остатки:
для
10000
остаток равен остатку от деления
6*10 на
7, то есть
4 (10000=7*1428+4),
для
100000 остаток равен
остатку от деления
4*10 на
7, то есть
5 (100000=7*14285+5).
Тогда шестизначное число
a5
105
+ a4
104
+
... + a1
10 +
a0
можно
представить в виде
a5
(7*14285 + 5)
+ a4
(7* 1428+ 4) +
a3
(7* 142+ 6) + a2
(7* 14+ 2) + a1
(7*1+ 3) +
a0 =
= 7*(14285 a5
+ 1428 a4
+ 142 a3
+ 14 a4
+ a1) + (5 a5
+ 4 a4
+ 6 a3
+ 2 a2
+ 3 a1+
a0 ).
Первое слагаемое результата всегда делится на
7, значит, всё
число будет делиться на 7
тогда и только тогда, когда второе слагаемое делится на
7.
Замечание.
Если число имеет больше
6 цифр, то процесс
построения остатков от деления степеней десяти на
7 можно продолжить. Нетрудно понять, что это
будет циклическая последовательность с периодом 6
(число всех возможных ненулевых остатков от деления
чисел на 7). |
| |
| Задание
2. Проведите эксперимент с признаком делимости на
7. |
|
|
|
Теорема. Признак делимости шестизначного числа на
7. Число делится
на
7 тогда и только
тогда когда делится на
7 комбинация его
цифр (читая с конца) с коэффициентами
1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6,...
и т. д. (в периоде получается упорядоченный набор цифр
1, 3, 2, 6, 4, 5
). |
| |
Задание
3.
а)
Проверьте, что вычитание из любого коэффициента числа
7 сохраняет
признак делимости.
б) Объясните
этот результат.
в)
Подберите коэффициенты так, чтобы их абсолютная величина не превышала
3.
г) Попробуйте найти хорошую словесную формулировку последнему признаку. |
|
|
|
Задание
4. Сформулируйте и проверьте признаки делимости шестизначных чисел: а)
на
6; б)
на
8; в)
на
11. |
|
|
Задание
5**. Представляет
интерес сравнить признаки делимости при представлении числа в различных
системах счисления.
а)
переведите последнее шестизначное число, сгенерированное при проверке
делимости на
9 (см. выше) в девятеричную
систему счисления; проанализируйте его вид; сравните величину остатка при
делении на
9, полученную выше, с видом
числа в девятеричной системе счисления; дайте объяснение полученному
результату;
б) сделайте то же самое для
числа полученного при изучении признака делимости на 7, переведя
шестизначное число в
7-ичную систему счисления;
в)* объясните полученные
результаты;
г)** попробуйте найти признаки
делимости на
2 и
4 для числа записанного в
троичной системе счисления. |
|
|
| |
|
Работы учеников.
|