Современные математические программы позволяют рисовать графики зависимостей. Вычислительно эта задача проста, если переменная y выражена (говорят «явно выражена») через переменную x (или наоборот, переменная x выражена через переменную y ).

Иначе (как, например, для лемнискаты Бернулли), переменные x и y связаны некоторой зависимостью, но выразить одну переменную через другую непросто, а иногда и невозможно. Такое задание зависимостей называется неявным. Соответственно, и с вычислительной точки зрения задача построения графика неявно заданной зависимости гораздо сложнее, и не все программы построения графиков решают ее. Программа Maxima, с которой мы работаем, тоже не решает эту задачу непосредственно. Однако имеется обходной путь, связанный с построением так называемых линий уровня.

Для этого рассмотрим функцию .

 

Для каждого набора значений переменных  x и y однозначно вычисляется значение z. Построим точку с координатами  ( x; y; z).Множество точек с такими координатами образует поверхность, изображенную на рисунке.

рис. 1

Если пересекать эту поверхность плоскостями z = a и спроектировать пересечение на плоскость XOY, то получатся так называемые линии уровня a (смотри следующий рисунок), эти линии задаются уравнением

или

При a = 0 получается лемниската Бернулли.

рис. 2

Для того чтобы построить поверхность и ее линии уровня в программе Maxima, надо набрать команду трехмерной печати:

Команда plot3d включает формулу, описывающую зависимость и несколько параметров, которые заключаются в круглые скобки. Параметры, в свою очередь, пишутся в квадратных скобках. Первые два параметра указывают диапазон изменения x и y и являются обязательными. Другие связаны с особенностями вывода графика. Их назначение можно понять после нескольких простых экспериментов.

Так параметр gnuplot_preamble обозначает форму вывода графика, которую мы видим на рисунках, этот параметр имеет уточняющие подпараметры, которые записываются через точку с запятой в кавычках после имени параметра, от которого отделяются запятой. Такая форма вывода позволяет менять положение графика с помощью мышки. В частности, можно добиться такого положения, когда плоскость проекции совпадет с экраном (рис. 2 получен из рис. 1 таким способом).

Смысл подпараметров такой:

unset surface – поверхность выводится сглаженной, хотя при вычислениях она разбивается на небольшие элементы, которые при отсутствии этого параметра создадут видимость сетки, покрывающей поверхность;

set contour – этот параметр определяет вывод линий уровня;

set cntrparam levels 100 – этот параметр определяет количество линий уровня;

unset key – этот параметр отменяет вывод соответствия цветов линиям уровня; здесь это сделано, чтобы не перегружать картинку, но при выполнении лабораторной работы может оказаться полезным.

Последний параметр grid со следующими за ним двумя натуральными числами определяет частоту сетки, в узлах которой вычисляется значение выражения; чем больше эти числа, тем точнее строится график, но и время построений будет существенно больше.