Постановка
проблемы. Основное функциональное
свойство логарифма
log xy = log x + log y (основание
произвольное, поэтому в записи опущено)
лежит в основе простого устройства для выполнения умножения -
логарифмической линейки. Как
устроена логарифмическая линейка?
Цели
работы.Изучить инструмент сложения чисел,
сделанный из двух школьных линеек. Используя возможность построения
неравномерной шкалы, сделать инструмент для умножения чисел.
Задание 1.На динамическом рисунке представлены две линейки,
которые можно смещать относительно друг друга. Объясните, как с помощью этой линейки сложить числа
2
и
3. Пользуясь этими линейками, сложите числа: a)
2,7+4,6;
b)
4,7+7,8.
Устройство для сложения чисел
Для того, чтобы превратить это устройство сложения в прибор для
умножения, достаточно считать, что числа, нанесенные на шкалу,
изображают не сами числа, а их логарифмы. Например, если рассмотреть
основание логарифма
2, то
0 на шкале будет
соответствовать
1 (т.к.
log2 1 = 0),
1 на шкале - числу
2 (т.к.
log2 2 = 1),
2 на шкале - числу
4 (т.к. log2 4 =
2) и т.д.
Задание 2.На динамическом рисунке представлены две линейки,
на которых можно расставить числа 2, 4, 8, 16, 32. Расставьте их, как сказано выше.
Объясните, как с помощью полученной логарифмической
линейки перемножить числа
2
и
4. Пользуясь логарифмической линейкой, перемножьте числа: a) 4 и
8;
b)
3 и
4.
Логарифмическая линейка
Как уже говорилось выше, в качестве основания логарифма можно выбрать
любое (допустимое определением логарифма) число. Заметим, что брать
число меньшее 1 неудобно,
так как логарифмы будут отрицательны, а на линейке отмечаются
положительные числа.
Задание 3.
Расставьте на логарифмической линейке числа
2, 4, 8, 16, 32
так, чтобы на оси откладывались логарифмы этих чисел по основанию 4. Проверьте работоспособность полученной
логарифмической линейки, умножив число
4
на себя .
Задание 4.
Расставьте на логарифмической линейке числа
2, 4, 8, 16, 32
так, чтобы промежутки между числами равнялись
1,5.
Какому основанию логарифма соответствует полученная
логарифмическая линейка?
Вычислите на этой линейке произведения следующих пар чисел:
a)
3
и 5;
b)
4
и 7.
Вернемся к расстановке чисел, сделанной в задании
2.
На каком расстоянии от начала линейки надо
поставить деление, соответствующее
3?
Посередине между
1
и
2
(пометками
для
2
и
4)?
Ответ такой: число
3
надо поставить на расстоянии log23от левого края линейки.
Будет ли это расстояние больше или меньше
3/2?
Сравним число
2
в степени log23,
что равно 3,
и
23/2.
Возводя оба числа в квадрат, приходим к сравнению чисел
9 и
8.
Первое
из них больше, значит log23лежит чуть правее середины
отрезка
[1; 2].
Задание 5.Определите расположение пометок для чисел 5, 6, 7
на логарифмической линейке, построенной по двоичному основанию. Сравните их расстояния от начала линейки с числами 9/4, 5/2, 11/4
соответственно.