Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА.   КАК СДЕЛАТЬ ВИРТУАЛЬНЫЙ МИКРОСКОП ДЛЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Постановка проблемы. Преобразования графика позволяют сконструировать преобразование, которое "увеличивает" график функции в заданной его точке в k раз. Представляет интерес построить такое преобразование и испытать его действие.
Пример.

На рисунке показана формула растяжения графика в k раз и построен пример растяжения графика в k =1,5 раза относительно точки A, лежащей на графике.

Задания. Для получения искомой формулы нужно реализовать следующий план преобразований:
  1. Сделайте параллельный перенос графика так, чтобы точка A перешла в начало координат (параллельный перенос осуществляется двумя переносами: вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс).
  2. Сделайте гомотетию графика относительно начала координат в k раз (сжатие в k раз по каждой из осей относительно другой).
  3. Обратный параллельный перенос так, чтобы начало координат перешло в точку A.

Следующий шаг - создание динамической модели виртуального микроскопа графиков функций.

Наиболее целесообразно сделать его с помощью среды "Живая математика" (The Geometer's Sketchpad 4 ).

Провести эксперименты с микроскопом графиков можно в среде Maxima ( результаты можно преобразовать в HTML-формат и привести в публикациях на сайте проекта).

Пример.
 В данном примере показана реализация примера, приведенного выше с помощью команд программы Maxima. Команды построения графика уже обсуждались в других сюжетах.

(%i1)   f(x):=x^3-x;

Result

(%i13))   Xa:0.8;

Result

(%i14))   Ya:f(Xa);

Result

(%i15))   k:1.5;

Result

(%i16))   g(x):=k*(f(1/k*(x-Xa)+Xa)-Ya)+Ya;

Result

(%i17))   wxplot2d([f(x),g(x)], [x,-3,3], [y,-4,6]);

Result


Для изменения параметров в среде Maxima программе надо выделить команду с этими параметрами и "кликнуть" по ней правой клавишей мыши. В "выпадающем" окне выбрать операцию "Редактировать ввод", после чего исправить параметры команды. После исправлений надо снова выделить эту команду  и снова "кликнуть" по ней правой клавишей мыши, а "выпадающем" окне выделить следующую операцию: "Перевычислить ввод".  При этом результат команды вычислится заново, а курсор перескочит на следующую команду, которую, если надо, тоже можно исправить и перевычислить. В любом случае перевычислить надо все команды, зависящие от измененных параметров.

Замечание. Номера команд включают букву " i ", а номера результатов их выполнения - букву " o ". При перевычислении команды номер ее меняется: ей присваивается очередной номер.

Задания.
  1. В среде  Maxima введите программу, приведенную выше и проверьте её работоспособность.
  2. Измените коэффициент растяжения на  k = 2.
  3. Измените абсциссу точки графика, которая является центром растяжения, на xa = -1.
  4. Замените функцию, в которой происходит растяжение на y = 1 + x - x2.
  5. Постройте касательную к графику функции, выбрав большое значение k (подставьте последовательно 10, 100, 1000).
  6. Предложите свои функции и представьте результаты действия микроскопа на них в выбранных точках.
  7. *Попробуйте найти функцию, которая при увеличении относительно одной из ее точек в любое количество раз выглядит так же. Существует ли у найденной функции касательная в этой точке?
Работы учеников.
<< назад               вперед >>
В оглавление / В расписание уроков