В стандартную схему
исследования функции обычно включают следующие пункты:
1. Область определения функции.
2. Нули (корни) функции.
3. Промежутки знакопостоянства.
4. Точки экстремума функции.
5. Промежутки возрастания и убывания (монотонность)
функции.
6. Наибольшее и наименьшее значения функции.
7. Множество значений функции.
Область определения функции
Область определения – множество значений аргумента, при
которых задана функция. Если функция задана формулой, то
имеется в виду ее естественная область определения, т.
е. множество чисел, к которым применима данная формула.
Геометрически область определения– это проекция графика функции на ось х.
Примеры. На динамическом рисунке
проследите за изменением области определения функции,
заданной графиком. Для этого нажмите кнопку "Показать
область определения" и медленно перемещайте точку N вниз.
По окончании эксперимента спрячьте область определения
соответствующей кнопкой.
1) Добейтесь того, чтобы у графика появились
вертикальные асимптоты. Точки пересечения вертикальных
асимптот с отрезком AB выпадают из области
определения. Перемещая точки A и B, добейтесь того, что
асимптоты не будут пересекать отрезок AB. Это означает, что область
определения отрезок. Если асимптота проходит, через
граничную точку отрезка, то она не входит в область
определения.
2) Постройте примеры того, когда областью определения
являются [A;
B], [A; B), (A; B).
3) Постройте пример того, когда областью определения
являются [A; С)(С;
B], где С - точка, в которой функция не
определена.
4) Постройте пример того, когда областью определения
являются [A;
С)
(С;
B), где С - точка, в которой функция не
определена. Чем этот пример отличается от предыдущего.
Нули функции
Нули (корни) – точки, в которых функция обращается в
нуль, или, иначе, решения уравнения f(x) = 0.
Геометрически нули –это абсциссы точек пересечения графика функции с
осью х.
Пример. у = х2 + х – 2, нули: х1 = 1, х2 = -2; у = х2 + х +2, нулей нет.
Промежутки знакопостоянства
Промежутки знакопостоянства – интервалы, на которых
функция сохраняет знак.
Геометрически – это интервалы оси х, соответствующие точкам графика, лежащим выше (или
ниже) этой оси.
Примеры. На динамическом рисунке
проследите за изменением корней и промежутков
знакопостоянства функции,
заданной графиком. Для этого нажмите кнопку "Показать промежутки знакопостоянства" и медленно перемещайте точку N в
окрестности исходного положения.
По окончании эксперимента спрячьте промежутки
знакопостоянства
соответствующей кнопкой.
1) Добейтесь того, чтобы число x
= 0 стало нулем
функции. Каковы при этом будут промежутки
знакопостоянства?
2) Верно ли, что только при переходе через корень
функция меняет свой знак? Приведите на динамическом
рисунке примеры, подтверждающие ваше мнение.
Точки экстремума
Точки экстремума – точки, лежащие внутри области
определения, в которых функция принимает самое большое
(максимум) или самое малое (минимум) значение по
сравнению со значениями в близких точках.
Геометрически – около точек экстремума
график функции выгибается, как горб, направленный вверх
или вниз.
Обычно точки экстремума разделяют промежутки
монотонности.
Промежутки монотонности
Промежутки монотонности – интервалы, на которых функция
или возрастает, или убывает.
Геометрически – это интервалы оси х, где график функции идет вверх или вниз.
Примеры. На динамическом рисунке
проследите за наличием экстремумов и промежутков
промежутков монотонности функции, заданной графиком. Для
этого нажмите кнопки "Показать промежутки возрастания" и "Показать промежутки убывания"
и медленно перемещайте точку N в
окрестности исходного положения.
По окончании эксперимента спрячьте промежутки
монотонности соответствующими кнопками.
1) Постройте график функции, имеющий два промежутка
возрастания и один - убывания.
2) Постройте график функции, имеющий два промежутка
убывания и один - возрастания.
3) Постройте график функции, возрастающий на любом
отрезке из области определения.
4) Постройте график функции, убывающий на любом отрезке
из области определения.
5) Постройте график функции, имеющий один максимум и
один минимум.
6) Постройте график функции, имеющий один экстремум -
максимум.
7) Постройте график функции, имеющий один экстремум -
минимум.
Наибольшее и наименьшее значения функции
Наибольшее и наименьшее значения функции – самое большое
или самое маленькое значение функции по сравнению со
всеми возможными (в отличие от экстремумов, где
сравнение ведется только с близкими точками).
Геометрически – это ординаты самой
высокой и самой низкой точек графика.
Множество значений функции
Множество значений функции – множество чисел, состоящее
из всех значений функции.
Геометрически – это проекция графика
функции на ось у.
Ограниченность функции
Функция у = f(x) называется ограниченной,
если существует такая константа С, что для всех
значений х из области определения функции
выполняется неравенство |f(x)|<C.
Примеры. На динамическом рисунке
проследите за связью области значений, экстремумами,
наибольшим и наименьшим значениями и ограниченностью
функции. Для этого нажмите кнопки "Показать
область определения", "Показать
промежутки возрастания" и "Показать промежутки убывания"
и медленно перемещайте точку N в
окрестности исходного положения.
По окончании эксперимента спрячьте промежутки
соответствующими кнопками.
1) Постройте график ограниченной функции на отрезке AB,
которая остается ограниченной при расширении AB
на всю вещественную ось.
2) Постройте график ограниченной функции на отрезке AB,
которая перестаёт быть ограниченной при изменении AB.
3) Постройте график функции на отрезке AB,
область значений которой есть [C; D], где C - наименьшее, а D - наибольшее значения функции.
4) Постройте график функции на отрезке AB,
область значений которой есть[f(A);
f(B)]. 5) Постройте график функции на
отрезке AB,
область значений которой есть [f(B); f(A)].
Четность и нечетность функции
Функция f(x) называется четной, если ее область определения
симметрична относительно начала координат и для любого
числа x из области определения справедливо равенство f(-x)
= f(x).
Функция f(x) называется нечетной, если ее область определения
симметрична относительно начала координат и для любого
числа x из области определения справедливо равенство f(-x)
= - f(x).
Функция, которая не является ни четной, ни нечетной,
называется функцией общего вида.
Геометрически чётность означает осевую
симметрию графика функции относительно оси Oy, нечётность - центральную симметрию
относительно начала координат.
Пример. На динамическом рисунке нажмите кнопку "Показать коэффициенты функции"
и перемещая точки N, M, K подберите
значения параметров такие, чтобы функция была
- нечётной;
- чётной.
При каких значениях коэффициентов a и b это достигается?
