Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ
 
Зависимости между переменными величинами описываются с помощью функций.
Основные свойства этих функций не должны существенно меняться при изменении способа измерения переменных величин, то есть при изменении их масштаба и начала отсчета.
С другой стороны, за счет более рационального выбора способа измерения переменных величин обычно удается упростить запись зависимости между ними, привести эту запись к некоторому стандартному виду.
На геометрическом языке изменение способа измерения величин означает простые преобразования графиков.
 

Параллельный перенос

Изменение начала отсчета переменных приводит к параллельному переносу.
Установим связь между графиками функций  у = f(x)  и  у = f(x - а).
Если мы обозначим  х–а  через  х'  (то есть, если мы сдвинем начало отсчета аргумента в точку  а), то получим соотношение  у = f(x').
Это означает, что для построения графика функции  у = f(x - а)  надо изобразить график исходной функции в системе координат  (х'; у),  то есть сдвинуть график функции  у = f(x)  на вектор  (а; 0).  Так как переменная  у  не меняется, то сдвиг происходит вдоль оси  х.

Аналогично график функции  у = f(x) + b  связан с графиком функции  у = f(x).  Обозначив  у - b  через  у', получим  у' = f(x).  Это означает, что для построения графика функции  у = f(x) + b  надо изобразить график исходной функции  f  в системе координат  (х; у'),  то есть сдвинуть график функции  у = f(x)  на вектор  (0; b).  При этом происходит параллельный перенос вдоль оси  у.
График функции  у = f(x-a)  получается из графика функции  у = f(x)  переносом на  a  вдоль оси х.
График функции  у = f(x)+b  получается из графика функции  у = f(x)  переносом на  b  вдоль оси y.
 
 

Изменение масштаба


Изменим масштаб измерения величины  х. Результат измерения в новом масштабе обозначим через  х'.
Чтобы найти связь между значениями  х  и  х', достаточно знать, какое значение переменной  х'  соответствует единице масштаба переменной  х. Пусть это значение равно  k. Тогда все другие значения переменной изменятся пропорционально, то есть,  х' = kx  (проверьте, что при  х = 1  значение  х'  равно  k).
Отсюда следует связь между графиками функций  у = f(x)  и  у = f(kx) = f(x').
Аналогично при  0 < k < 1   происходит растяжение графика.
 
График функции  у = f(kx)  получается из графика функции  у = f(x)  растяжением или сжатием вдоль оси х:
при  k > 1  происходит сжатие графика,
при  0 < k < 1  - растяжение графика.
 

Связь между графиками функций  у = f(x)  и  у = kf(x)  устанавливается аналогично.  Только теперь надо менять масштаб изменения  y:
  .

Ситуация стала противоположной: при  k > 1  происходит растяжение графика вдоль оси , а при  0 < k < 1 – сжатие
График функции  у = kf(x)  получается из графика функции  у = f(x)  растяжением или сжатием вдоль оси y:
при  k > 1  происходит растяжение графика,
при  0 < k < 1  -  сжатие графика.
 

Симметрия

В преобразованиях  у = f(kx)  и  у = kf(x)  мы считали, что  k > 0.
Чтобы включить и случай  k < 0,  рассмотрим  k = -1.
Так как точки  (х; у)  и  (–х; у)  симметричны относительно оси у, то и графики функций  у = f(x)  и  у = f(–x) симметричны относительно этой оси.
Аналогично графики функций  у = f(x)  и  у = –f(x)  симметричны относительно оси  х.
 
Графики функций  у = f(x)  и  у = f(–x)  симметричны относительно оси  у.
Графики функций  у = f(x)  и  у = –f(x)  симметричны относительно оси  х.
Пользуясь тремя типами преобразования графиков – параллельным переносом, растяжением (сжатием) и симметрией, – можно, исходя из графика функции  у = f(x),  построить график функции  у = kf(mx + b) + a  при любых значениях параметров  a,  b,  k,  m.
 
   Задание. Проведите следующие манипуляции с графиком функции на динамическом рисунке, комментируя происходящее с графиком функции и возвращаясь к исходным значениям после каждого эксперимента.
1) Медленно увеличивайте и уменьшайте значение a.     2) Медленно увеличивайте и уменьшайте значение b.
3) Медленно увеличивайте и уменьшайте значение k.     4) Медленно увеличивайте и уменьшайте значение m.
5) Измените значение k на противоположное.                  6) Измените значение m на противоположное.
Замечание. Исходные значения параметров: a = 0,  b = 0,  k = 1,  m = 1.

 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков