Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
СЛОЖНАЯ И ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
 

1. Понятие о сложной функции
Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию    можно рассматривать как композицию функций    и  .
Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись   означает, что функция  h  получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f), т. е. .

Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: .

Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

Пример.
Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа  х, для которых , т. е. те, для которых число попадает в область определения функции .

2. Взаимно обратные функции
Пусть дана функция  у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости  у = f(x)  можно переменную  х  однозначно выразить через переменную  у. Выразив  х  через  у, мы получим равенство вида  х = g(y). В этой записи  g  обозначает функцию, обратную к  f.

Если функция  g  является обратной для функции  f, то и функция является обратной для функции  g.
Пару функций  f  и  g  называют взаимно обратными функциями.

3. График обратной функции
Если мы одновременно построим графики функций  f  и  g  в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой  у = х.
4. Свойства взаимно обратных функций
Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций.
1) Тождества. Пусть  f  и  g – взаимно обратные функции. Тогда :  f(g(y)) = у  и  g(f(x)) = х.
2) Область определения. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Область определения функции  f  совпадает с областью значений функции  g, и наоборот, область значений функции  f  совпадает с областью определения функции  g.
3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций.
4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

 

Динамическая иллюстрация к понятию обратной функции
Упражнение.
1) перемещая по оси Ox (за точку A) отрезок, на котором рассматривается функция,  найдите его положения, при которых функция имеет обратную;
2) найдите положения, при которых области определения функции и ей обратной содержат 0;
3) найдите положения, при которых функция и ей обратная возрастает; убывает;
4) проиллюстрируйте на динамическом рисунке другие свойства обратных функций.

 
 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков