Если k – натуральное число, то степенная
функция определена при всех значениях х.
Если
k – отрицательное
целое число, то степенная функция определена при всех значениях
х,
кроме нуля.
Если
k – произвольное действительное число, то функция
у = x k определена
при всех положительных значениях х
(если при
этом k > 0 , то можно считать эту функцию определенной и при
х = 0 ).
Динамический рисунок графика степенной функции
Степенные функции у = xk, определенные при х > 0, являются строго монотонными на указанном промежутке.
Они
возрастают при k > 0 и убывают при
k < 0.
Областью значений степенных функций
у = xk, определенных
при х> 0 , является множество всех положительных чисел.
Уравнение
при a > 0 имеет положительное решение при любом
k :
.
Упражнение. Проиллюстрируйте на динамическом рисунке указанные свойства.
Функции у = xk и у = х ( х > 0 ) являются взаимно обратными. Их графики симметричны друг другу относительно прямой у = х.
Упражнение. Постройте на динамическом рисунке графики взаимно обратных степенных функций (последовательно):
k = 2 и k= 0,5.
k = - 2 и k = - 0,5.
Упражнение. Постройте на динамическом рисунке графики степенных функций для следующих значений параметра k и подберите к ним обратные:
k = 1,5.
k = 0,7.
k= -1.
Простейшая убывающая функция задается
обратно пропорциональной зависимостью
у = (с > 0,
х > 0).
Упражнение. Постройте на динамическом рисунке графики обратно пропорциональной зависимости.
Чем больше
k , тем быстрее убывают функции
( х > 0, k > 0 )
при
больших значениях х
.
Упражнение. Продемонстрируйте на динамическом рисунке указанное свойство.
(
