Арифметические действия с многочленами
аналогичны действиям с целыми числами. Они обладают такими же
свойствами, а алгоритмы выполнения арифметических действий с
многочленами получаются небольшой модификацией алгоритмов с целыми
числами в позиционной системе счисления (исключается операции переноса
из разряда в разряд).
При сложении многочленов степень суммы
не может быть больше степени каждого из слагаемых.
При умножении многочленов
– старший коэффициент произведения равен произведению старших
коэффициентов сомножителей;
– свободный член равен произведению свободных членов;
– степень произведения равна сумме степеней сомножителей.
Деление
многочленов с остатком.
Многочлен
F(x) можно разделить на многочлен
с остатком. Под этим понимают, что
F(x) можно представить в таком виде:
где степень остатка
R(x) строго меньше степени делителя
G(x):
deg R < deg G (или остаток равен нулю).
Возможность такого представления следует из алгоритма «деления углом»,
который аналогичен делению целых чисел «столбиком».
Покажем этот
алгоритм на примере:
deg R =1;
deg G=2, т.е.
deg R < deg G .
Деление многочленов с остатком
полезно для выделения целой части рациональной дроби
,
т. е. представления дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби,
у которой степень числителя меньше степени знаменателя:
