Исторические сведения о многочленах

До середины XIX века центральной задачей алгебры было нахождение формулы для корней уравнения  P(x) = 0,  где  P  – многочлен произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых математиков первой трети XIX века – Э. Галуа (1811–1832), Н. Абеля (1802–1829) и П. Руффини (1765–1822).

Еще в XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.
Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и приближенных вычислений.
В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т. д.).

Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т. д.).

Математически сообщение может быть записано в виде последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и единицы и т. п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде радиосигналов). При передаче возможны искажения, которые при приеме сообщения должны быть исправлены. Была предложена (и активно используется по настоящее время) идея кодирования сообщения – такой его передачи, что после приема-передачи можно было бы обнаружить и исправить случайные ошибки. Основной способ кодирования состоит в следующем. Из последовательности сигналов (например, из цифр  0  и  1 )    составляется формальный многочлен    Затем подбирается некоторый фиксированный многочлен  Q(x)  (кодирующий многочлен) и умножается на P(x). Передается не исходная последовательность сигналов, а последовательность коэффициентов произведения     Многочлен  Q(x)  можно подобрать так, что при приеме будут распознаваться случайные ошибки, возникшие при передаче. При этом поиск кодирующего многочлена  Q(x)  оказался чисто алгебраической задачей, так как эта задача связана с вопросами делимости многочлена и поведения его корней.

Определение многочлена

Любой многочлен от одной буквы  x  (ее часто называют переменной) после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой буквы в виде
  или по возрастающим степеням 
Такая запись многочлена называется канонической.

Тождественный смысл равенства многочленов: многочлены равны, если равны их значения при всех значениях входящих в этот многочлен букв.
Проверить тождественное равенство многочленов по такому определению невозможно, так как пришлось бы подставлять бесконечное число значений букв и на это не хватило бы целой жизни.
Какова же связь между понятиями алгебраического и тождественного равенства многочленов?
В одну сторону связь очевидна: если многочлены равны алгебраически, то они равны и тождественно, так как оба многочлена состоят из одних и тех же членов, и, подставляя в них любые значения букв, мы будем иметь совпадающие числовые выражения.
Доказать обратное утверждение, т. е. что из тождественного равенства многочленов следует их алгебраическое равенство, нелегко. В основе этого факта лежит замечательное утверждение о многочленах от одной буквы.