| |
| Основные свойства арифметических корней.
Будем считать, что все рассматриваемые числа неотрицательны, а числа,
стоящие в знаменателе, не равны нулю.
Свойство 1.
.
Свойство
2.
Свойство
3.
Свойство 4. Если а > b, то
Свойство
5. Пусть m > n. Если а > 1, то
если 0 < а < 1, то
|
Замечание. Некоторые формулы с небольшими изменениями можно
переписать и для отрицательных чисел. При этом под знаком радикала
может появится модуль числа.
Например, если числа а и b одного знака, свойство 2
запишется так:
|
| Упражнение 1.
|
Испытайте на
примере свойство 2 (первое равенство). Для этого рассмотрите пример: n = 3, a = 2197, b = 4913.
Указание. На инструменте слева вычислите корень третьей
степени из a. На среднем
инструменте - корень третьей степени
из b. На правом нужно вычислить корень третьей степени из
произведения a на b. Разумеется, после вычисления первых двух
корней вам будет известен ответ 221, однако перемножить устно числа a и b трудно (а считать на
калькуляторе неинтересно).
Попробуйте найти это произведение методом последовательных
приближений (например, методом половинного деления:
"перелёт"-"недолёт" для угадывания цифр, начиная
со старшего разряда к младшему). Сколько раз вам пришлось вычислить корень? |
| |
|
Испытайте на
примере свойство 3 (первое равенство). Для этого рассмотрите пример: n = 7, k = 8, a = 1679616.
Указание. На инструменте слева вычислите корень k-ой степени из a. На среднем
инструменте - корень n-ой степени
из результата. На правом нужно вычислить корень степени nk из a. Сравните результаты на среднем
и правом инструментах. |
| Доказательство всех свойств
проводится по одной и той же схеме. Докажем, например, первые из
свойств 2 и 3. |
Доказательства
свойств корней.
Свойство 2.
По определению
– это такое число, n-я степень
которого равна аb. Если n –четное
число, то это число положительно.
Проверим, что этим же свойством обладает правая часть.
Возведем ее в n-ю степень:
При четном n каждый
множитель
и
положителен, поэтому произведение
положительно.
Свойство 3.
Возведем
число
в степень nk:
Это означает, что
– корень степени nk из числа a. Если число nk четно, то, по условию, число a положительно, а тогда
являются положительными числа
и
|
Примеры преобразований дробных выражений с корнями
1)
2)
и т.д.
3)
4)
5)
6)
|
| |
Примеры и
комментарии об операциях с радикалами
Замечание 1. Выражение
имеет смысл при любом значении a, так как под корнем стоит выражение
Однако при сокращении показателей надо учесть знак a: если
то
если же
то
например,
Замечание 2. Выражение
при четном n имеет смысл при любом значении a. При этом если
то
если же
то
Последние два случая можно объединить:
Аналогично, при нечётном n верна формула
при любом значении a.
Объединив вместе оба случая чётности n получим:
Замечание 3. Запись корней в удобной форме.
Иногда бывает удобно убрать корень из знаменателя или вынести
множитель из-под корня.
Замечание 4. Преобразования выражений с радикалоами.
Часто при решении задач приходится, упрощая выражение, извлекать
корень частично, т.е. не из всего выражения, а только из его части,
избавляться от корней в числителе или знаменателе, приводить корни к
одному показателю корня и совершать другие действия, которые помогут
произвести дальнейшие преобразования. Избавляясь от корня в числителе
или знаменателе, мы умножаем числитель и знаменатель на такое
выражение, чтобы извлекся корень, от которого мы хотим избавиться. |
| |
Примеры преобразования радикалов
1)
2)
3)
4)
5)
|
| |
Примеры на сравнение чисел, записанных с помощью радикалов
1)
так как
2)
так как
3)
так как
|
| |