|
Определение степени с действительным показателем
Можно определить степень
не только для рационального, но и для любого действительного показателя
x. Для этого рассматривают последовательность
рациональных приближений к числу
x, т. е. последовательность рациональных чисел
которые задают число
x с любой степенью точности. Затем вычисляют
степени с рациональными показателями
Оказывается, что эти числа являются приближениями к некоторому числу
y, причём, уточнением рационального приближения
числа
x можно добиться вычисления
с любой степенью точности. Это число и считают степенью
с показателем
x. |
|
Свойства степени с действительным
показателем
На степени с действительными показателями переносятся все свойства
степеней с рациональными показателями.
1)
2)
3)
4)
5) 
6)
7) 
при любом действительном
x,
8) пусть 
Если 
то 
если 
то 
Основания степеней везде считаются положительными. |
|
Доказательство свойств степени с произвольным
действительным показателем проводится, на основе использования перехода
к пределу в свойствах степеней с рациональным показателем и связана с
более глубоким изучением понятия действительного числа.
Предельный переход будет обсуждаться позднее. |
|
Упражнения.
1. Используя встроенный в страницу калькулятор, вычислите
приближённо степени
с действительным показателем:
 ,
 ,
(здесь
e = 2,718281828459... - иррациональное число, введённое
Эйлером, которое будет изучаться позже,
exp (x) = ex
).
2. Вычислите
 .
Сравните результат с
 и
 .
Велика ли погрешность? |
|
|
| |