Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
ПЕРЕХОД К НОВОМУ ОСНОВАНИЮ.
МОДУЛЬ ПЕРЕХОДА
 

Мы можем встретить в вычислительных задачах степени различных чисел в разных сочетаниях, например, при вычислении выражения    надо возводить в степень разные числа, умножать и делить степени. Зачем так много степеней? Нельзя ли обойтись степенями какого-то одного основания? Конечно, можно.

Первое правило
Можно выбрать одно удобное основание, например  а,  и привести любую степень к основанию  а,  то есть представить любую степень     в виде     при некотором  k.  Этот коэффициент  k  и есть логарифм:     поэтому, обозначая     через  k,  мы получим:


 

Это правило позволяет пользоваться каким-то одним основанием. В одних задачах удобно брать    в других (особенно дискретных задачах) – брать     Для вычисления приведенного выше выражения  А  с помощью калькулятора, умеющего вычислять     надо все привести к степени  10 :     где     – логарифмы чисел  2,1 7  и  3  по основанию  10.  Внимательный человек может дополнительно заметить, что     и сделать упрощения:     избавившись от логарифма числа  2,1.

Второе правило
При логарифмировании можно также выбрать одно удобное основание и сводить все логарифмы к этому основанию. Для этого существует специальная формула, которую мы сейчас выведем.
Пусть мы хотим перейти от логарифмов по основанию  а  к логарифмам по другому основанию  b.  Запишем основное логарифмическое тождество: 
Прологарифмируем его по основанию  а
Получаем:


 

Эту формулу часто читают так: логарифм числа по новому основанию равен логарифму числа по старому основанию, деленному на логарифм нового основания по старому основанию.
Выведенную формулу называют формулой перехода от одного основания логарифма к другому.
Таким образом, мы видим, что при изменении основания значения логарифмов изменяются пропорционально:
  где  

Коэффициент пропорциональности называют модулем перехода.
Отметим простые следствия выведенной формулы.
1) 
2) 
3) 
 

Упражнения
1. Докажите следующие формулы:
1)  
2) 
3) 
2. Дано число    Выразите через  а  следующие числа:
1)  
2)  
3)  
3. Вычислите:
1)  

2)  
 

Упражнение.  Встроенный калькулятор (слева) умеет вычислять только натуральный логарифм (логарифм по основанию  e где  e = 2,718281828459... - иррациональное число, введённое Эйлером, которое будет изучаться позже,  ln (x) = logex ).
Используя калькулятор и ячейки для хранения промежуточных результатов (перемещать в них числа из окна калькулятора и обратно можно простым "перетягиванием мышкой " с предварительным выделением числа той же мышкой).
1.  Вычислите  lg 2;  lg 0,5;  lg
2.  Вычислите  log2 10;  log0,5 11;  

Калькулятор выполнен в виде Java-скрипта.
Находятся в коллекции свободного доступа и могут быть включены в HTML-страницы простым копированием.
This free script provided by JavaScript Kit









 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков