Мы можем встретить в вычислительных задачах степени различных чисел в разных сочетаниях, например, при вычислении выражения    надо возводить в степень разные числа, умножать и делить степени. Зачем так много степеней? Нельзя ли обойтись степенями какого-то одного основания? Конечно, можно.

Первое правило
Можно выбрать одно удобное основание, например  а,  и привести любую степень к основанию  а,  то есть представить любую степень     в виде     при некотором  k.  Этот коэффициент  k  и есть логарифм:     поэтому, обозначая     через  k,  мы получим:

Это правило позволяет пользоваться каким-то одним основанием. В одних задачах удобно брать    в других (особенно дискретных задачах) – брать     Для вычисления приведенного выше выражения  А  с помощью калькулятора, умеющего вычислять     надо все привести к степени  10 :     где     – логарифмы чисел  2,1;  7  и  3  по основанию  10.  Внимательный человек может дополнительно заметить, что     и сделать упрощения:     избавившись от логарифма числа  2,1.

Второе правило
При логарифмировании можно также выбрать одно удобное основание и сводить все логарифмы к этому основанию. Для этого существует специальная формула, которую мы сейчас выведем.
Пусть мы хотим перейти от логарифмов по основанию  а  к логарифмам по другому основанию  b.  Запишем основное логарифмическое тождество: 
Прологарифмируем его по основанию  а : 
Получаем:

Эту формулу часто читают так: логарифм числа по новому основанию равен логарифму числа по старому основанию, деленному на логарифм нового основания по старому основанию.
Выведенную формулу называют формулой перехода от одного основания логарифма к другому.
Таким образом, мы видим, что при изменении основания значения логарифмов изменяются пропорционально:
  где  

Коэффициент пропорциональности называют модулем перехода.
Отметим простые следствия выведенной формулы.
1) 
2) 
3)