Десятичные логарифмы
Среди различных оснований для вычисления логарифмов чаще всего используется число    Логарифмы по такому основанию называются десятичными и имеют специальное обозначение:  
Особое положение десятичных логарифмов связано с использованием десятичной системы счисления. Если мы запишем положительное число  x  в стандартной форме, т. е. в виде    где    то получим, что    Но    если    лежит в указанном интервале, является положительным числом, меньшим  1.  Это означает, что мы представили    как сумму целого числа и положительной дроби, меньшей единицы, т. е.  k  – это целая часть десятичного логарифма числа  x.  По десятичной записи числа  x  мы сразу можем приблизительно определить его десятичный логарифм.
В частности, десятичный логарифм целого числа, записанного  k  десятичными знаками, лежит в пределах от    до  k.

Натуральные логарифмы, число e
Есть одно основание, которое в расчетах используется не реже, чем число  10.  Это знаменитое число  e,  введенное Эйлером. Это число не является рациональным, лежит между  2  и  3,  и его первые десятичные знаки таковы: e=2,718281828… .
 

Логарифмы по этому основанию называются натуральными и обозначаются с помощью знака  
Чем же замечательно число  e ?
Подробнее мы узнаем об этом в главе, посвященной основам математического анализа.
Сейчас лишь скажем следующее. С помощью степени с произвольным действительным показателем мы определим показательную функцию    Показательная функция при    растет очень быстро, быстрее любой степени. Можно определить скорость роста этой функции аналогично тому, как в физике, исходя из функции, задающей положение  y  точки в момент времени  x,  определяют ее мгновенную скорость. Оказывается, что показательная функция растет так быстро, что скорость ее роста пропорциональна значению самой этой функции. Этот коэффициент зависит от  а  и участвует во многих расчетах. Число  e  – это такое число, что скорость роста показательной функции с основанием  e  просто равна значению этой функции, т. е. коэффициент пропорциональности, о котором шла речь выше, равен единице, что, конечно, сильно облегчает расчеты.
Связь между десятичными и натуральными логарифмами осуществляется с помощью модуля перехода  k:
  где    а 
 

Приближенные формулы для числа  e