Числа    обладают многими интересными свойствами. Перечислим наиболее известные из них.

Но интереснее и полезнее можно доказать это свойство, используя из определение числа сочетаний. Чтобы выбрать  k  элементов из множества в  n  элементов, можно указать те из них, которые останутся, не будут выбраны. Если мы выбираем  k  элементов, то остается    Поэтому число выборок по  k  элементов (из  n ) равно числу выборок по    элементов.
 

Подсчитаем двумя способами общее возможное число выборок из множества, содержащего  n  элементов (число всех подмножеств  n -элементного множества).
С одной стороны это число равно    – для каждого элемента есть две возможности: попасть или не попасть в выбираемое подмножество, причем для каждого элемента эти возможности выбираются независимо друг от друга.
Это же число можно получить иначе – сначала зафиксировать число  k  элементов в подмножестве. Получим число    а затем сложим по всем  k,  чтобы найти общее число вариантов.
 

Представим себе, что к  n  элементам данного множества мы добавили еще один, и из полученного множества хотим выбрать подмножество из    элемента. По определению это число равно    Все эти выборки мы разобьем на два сорта – те, которые содержат один добавленный элемент, и те, которые его не содержат. Первых будет    штук (один элемент уже взят, а из остальных надо взять еще  k ), а вторых –    (все    элементов берутся из исходного множества). Тем самым  
Это равенство лежит в основе построения так называемого треугольника Паскаля, позволяющего быстро вычислять числа сочетаний    для небольших значений  n.
 

Легко заметить, что в n-ой строке треугольника Паскаля на k–ом месте (места нумеруем с нуля) стоит число 
Действительно, на сторонах треугольника стоят единицы, так как    (добавим еще   ), а над элементом    стоят элементы    и    Так как    то мы видим, что закон образования элементов треугольника из чисел сочетаний совпадает с законом образования элементов треугольника Паскаля.
Полезно заметить, что в треугольнике Паскаля самый большой элемент строки стоит в ее середине (он один при четном  n  и их два одинаковых при нечетном  n ).
При этом члены строки возрастают к ее середине, а потом убывают. Рассматривая треугольник Паскаля, можно обнаружить много новых свойств сочетаний.
 

Решим двумя способами следующую задачу: из группы в  n  человек надо выбрать команду в  k  человек и среди них назначить одного капитана команды.
Сначала можно выбрать всю команду (число способов –   ) и из нее выбрать капитана ( k  способов). Всего получится    способов.
Можно сначала из всей группы выбрать капитана ( n  способов), а затем из оставшихся выбрать    рядовых членов команды ( ) – всего    способов.
Результат:    т. е.