Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
БИНОМ НЬЮТОНА
 
Формула бинома Ньютона

Бином Ньютона – это формула разложения степени двучлена (бинома)    в виде многочлена от  a  и  b.

Запишем разложения бинома Ньютона для нескольких первых значений  n.



Чтобы найти коэффициент при    в разложении бинома    в общем случае, представим себе, что мы перемножаем  n  скобок (каждый член на каждый) и приводим подобные члены. Член    встретится столько раз, сколько можно указать  k  скобок (из  n  возможных), из которых мы возьмем множитель  а  (а из остальных автоматически возьмем  b ). Это число равно числу выборок  k  скобок из  n  возможных, которое носит название числа сочетаний из  n  по  k  и обозначается  
В этих обозначениях формула имеет следующий вид:  
Иными словами, число сочетаний из  n  по  k  равно коэффициенту при члене    в разложении  n-ой степени двучлена    поэтому числа сочетаний называют иначе биномиальными коэффициентами.
Эту связь можно использовать для вывода свойств сочетаний алгебраическими методами. Такой подход к выводу свойств комбинаторных объектов носит название метода производящих функций.

Динамические примеры.
Коэффициент при     x y
в разложении бинома Ньютона   
( x y )
  =
Коэффициент при    x y
в разложении бинома Ньютона   
( x y )
  =

Инструмент для экспериментов с биномом Ньютона

Упражнения. Используя встроенные инструменты выполните следующие упражнения.
1.  Просмотрите коэффициенты бинома  9-ой  степени, для этого в качестве коэффициентов введите единички (в  выражение бинома для суммы  x  и  y),  а  затем меняйте показатели степени при  x  от  0  до  9.
2.  Посмотрите как меняются величины коэффициентов и их знаки на примере бинома  7-ой  степени для разности  и  y.
3.  Верно ли, что все коэффициенты бинома  n-ой  степени делятся на  n.  Проверьте гипотезу на двух предыдущих примерах, далее для значений  n  от  10  до  17.   Сформулируйте гипотезу о делимости. Попробуйте обосновать гипотезу теоретически.

Указание. Для работы с инструментом надо ввести степень многочлена (бинома) и коэффициенты при  x  и  y,  а затем указать степень  x  в искомом члене разложения. Степень  y  этого члена будет вычислена автоматически, а справа от выражения бинома появится  соответствующий одночлен.

Замечание
При разложении многочлена (полинома)    чтобы, вычислить коэффициент при    мы выбираем скобки с указанными повторениями, т.е из    скобок мы берем множитель    из    и т.д. Он равен   

Эти коэффициенты называют полиномиальными коэффициентами.

Например, возведем трехчлен    в четвертую степень.

При    коэффициент равен    при    и т. д.
 

Свойства биномиальных коэффициентов
Биномиальные коэффициенты обладают большим количеством свойств. Выпишем основные из них.
 

Свойство 1.  

Для доказательства обратимся к основному рассуждению о раскрытии скобок: число    равно числу способов выбрать одну скобку из  n,  которое очевидно равно  n.
 

Свойство 2.    – биномиальные коэффициенты, равноотстоящие от концов, равны между собой.

Для доказательства достаточно поменять в формуле  a  и  b  местами. Левая часть при этом не изменится, а в правой коэффициент при    станет коэффициентом при  
 

Свойство 3.    – сумма биномиальных коэффициентов при фиксированном  n  равна  

Для доказательства подставим вместо  a  и  b  единички. Сразу получим искомое тождество.
 

Свойство 4.    – суммы биномиальных коэффициентов, стоящих на четных и на нечетных местах, равны между собой (и равны по половине от общей суммы).

Для доказательства подставим сначала    и    Перенеся вправо все члены с отрицательным знаком, получим первое из равенств. Чтобы доказать второе, воспользуемся свойством  3.  Обе суммы одинаковы, а их сумма равна    следовательно, каждая из сумм равна  
 

Свойство 5.    – рекуррентное соотношение, связывающее биномиальные коэффициенты для соседних степеней.

Для доказательства рассмотрим равенство 
Найдем коэффициент при    в обеих частях равенства. Слева он получится при приведении двух подобных членов:    Справа ему будет соответствовать коэффициент    что и доказывает формулу.

Примеры использования бинома Ньютона

Пример 1. Разложить бином    по степеням  x.
Применяем формулу бинома Ньютона: 
Значения биномиальных коэффициентов находим последовательно по формуле    Например,


 

 

Пример 2. Доказать формулу  
Подставляем в формулу для разложения    значение    Получаем требуемый результат.

 

Пример 3. Доказать соотношение  
Используем рекуррентное соотношение  

 

 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков