Так как координаты точки
Pt(x,y), лежащей на единичной окружности, связаны соотношением
x2+y2=1,
то
sin t и cos t
связаны соотношением sin
2t +cos 2t=1,
которое называют основным тригонометрическим тождеством.
Тангенс и котангенс связаны очевидным соотношением
Поставим вопрос: как, зная значение одной из тригонометрических
функций, найти значение всех остальных.
Основное тригонометрическое тождество
связывающее синус и косинус, позволяет выделить значение одной из этих
функций через значение другой с точностью до знака:
Для выбора знака нужна дополнительная информация. Обычно известно, в
какой четверти лежит угол
t. Это сразу определяет знаки всех тригонометрических
функций.
Синус положителен в первой и второй четверти, отрицателен в третьей и
четвертой четверти.
Косинус положителен в первой и четвертой четверти, отрицателен во
второй и третьей четверти.
К основным тригонометрическим тождествам можно
добавить выражение синуса и косинуса через тангенс (или котангенс).
Откуда
Далее,
Аналогично выводятся формулы с участием котангенса (в полученных
формулах заменяем
).
Тогда
Примеры.
1)
t лежит в первой четверти.
2)
t лежит в третьей четверти.
3)
t лежит в третьей четверти.
4)
t лежит во второй четверти.
Упражнение. Проиллюстрируйте на динамическом рисунке
результаты, полученные в примерах (значения тригонометрических
функций на динамическом рисунке округлены до десятых).
