Формулы приведения – это формулы, позволяющие
свести вычисления значений тригонометрических функций произвольного
угла поворота к вычислению этих значений для острого угла.
В основе формул приведения лежат свойства симметрии
вращательного движения. Сформулируем эти свойства. В них сравниваются
положения подвижного луча после совершения двух различных углов
поворота. Так как положения подвижного луча однозначно связаны с
положением точки
на единичной окружности, то мы сравним эти положения.
1. Для всякого целого числа
k положения точки
при значениях
t, отличающихся на
совпадают:
2. Для углов поворота, отличающихся на
точки
займут диаметрально противоположные положения
(т. е. они будут
симметричны относительно точки
O).
3. Для двух противоположных углов поворота точки
займут положения, симметричные относительно оси
абсцисс.
4. Положения точек для углов поворота, составляющих в сумме угол
(развернутый угол), симметричны относительно оси
ординат. 5. Положения точек для углов поворота, составляющих в сумме угол
(прямой угол), симметричны относительно прямой
(биссектрисы первого и третьего координатных
углов).
Эти свойства могут быть записаны как тождества, связывающие координаты
точек
Запишем их сначала для синуса и косинуса.
Формулы приведения для тангенса и котангенса
являются следствиями этих формул для синуса и косинуса.
Эти свойства можно объединить:
Динамическая иллюстрация формул приведения
Упражнение. Проиллюстрируйте на
динамическом рисунке формулы приведения.
Для применения формул приведения полезно запомнить
следующее правило:
Значение одной функции для угла
имеющего вид
где
сводится к значению этой же или парной к ней
функции (синус на косинус; тангенс на котангенс
и наоборот) для угла
t по следующему правилу. Функция сохраняется, если
k четно; и меняется на парную, если
kнечетно; для выбора знака надо представить себе,
что
t –
острый угол, определить четверть, в которую тогда попадет угол и
взять знак исходной функции для данного угла.
