Рассмотрим уравнение    Ясно, что при    оно не имеет решений, так как синус числа  x  как ордината точки    на единичной окружности по модулю не превосходит единицы. Пусть    Для некоторых значений  а  мы знаем хотя бы один угол  x,  для которого  

Возьмем произвольное число  а, у которого   При а = +1 или а = -1 положение точки с таким значением ординаты лишь одно. Если , то есть две точки на тригонометрической окружности с данным значением синуса. Если    одна из них, то у точки    ордината будет той же самой. Всегда можно выбрать одно решение    лежащее в интервале от    до    Это решение называется арксинусом числа  а.
Обозначение:  
Итак, пусть  

С помощью арксинуса можно записать все решения уравнения    При данном значении  а  ( ), как мы уже отметили, есть два различных положения точки   с данной ординатой. Если одному из них соответствует    то другому – число   Все решения уравнения   ( ) запишутся в виде двух бесконечных серий:    и  
Эти две серии решений иногда описываются одной формулой:

Отметим, что при    положение точки с данным значением ординаты лишь одно. Поэтому мы исключили значения    из этих формул, хотя можно записать  
Обратим еще раз внимание на то, что    существует только в том случае, если 
 

Запишем некоторые тождества для арксинуса.

1. 
Это тождество вытекает из определения арксинуса (  — это такой угол  х,  что  ).
Оно аналогично основному логарифмическому тождеству 

2.    если если 
Действительно, обозначим    через  а.  Тогда наше тождество будет равносильно определению арксинуса:    если    и 
Заметим, что выражение    имеет смысл при любом  х,  однако при    оно не равно  x.

3. 
Сначала вычислим синусы от левой и правой частей. И действительно, они оказываются равными:    и 
Если равны синусы двух чисел, это еще не означает, что равны и сами числа. В то же время правая часть доказываемого равенства – это угол, принадлежащий отрезку   А так как левая часть тоже принадлежит этому отрезку, то левая и правая части равны между собой.