Рассмотрим уравнение
Ясно, что при
оно не имеет решений, так как синус числа
x как ордината точки
на единичной окружности по модулю не превосходит единицы. Пусть
Для некоторых значений
а мы знаем хотя бы один угол
x, для которого
![](M_4.4.1.files/image002.gif) |
Пример.
Решить уравнение
![](M_4.4.1.files/image010.gif)
Одно решение этого уравнения
все остальные получаются по формулам
и
![](M_4.4.1.files/image016.gif)
|
Возьмем произвольное число
а, у которого
При а = +1 или а = -1 положение точки с таким значением ординаты лишь одно. Если , то есть две точки на тригонометрической окружности с
данным значением синуса. Если
одна из них, то у точки
ордината будет той же самой. Всегда можно выбрать одно
решение
лежащее в интервале от
до
Это решение называется арксинусом числа
а.
Обозначение:
![](M_4.4.1.files/image030.gif)
Итак, пусть
![](M_4.4.1.files/image008.gif) |
Арксинусом числа
а называется угол, лежащий в промежутке
синус которого равен
а:
![](M_4.4.1.files/image034.gif)
|
С помощью арксинуса можно записать все решения
уравнения
При данном значении
а (
), как мы уже отметили, есть два различных положения
точки
с данной ординатой. Если одному из них
соответствует
то другому – число
Все решения уравнения
(
) запишутся в виде двух бесконечных серий:
и
![](M_4.4.1.files/image044.gif)
Эти две серии решений иногда описываются одной формулой:
Отметим, что при
положение точки с данным значением ординаты лишь
одно. Поэтому мы исключили значения
из этих формул, хотя можно записать
![](M_4.4.1.files/image052.gif)
Обратим еще раз внимание на то, что
существует только в том случае, если
![](M_4.4.1.files/image008.gif)
|
Примеры.
1)
![](M_4.4.1.files/image056.gif)
2)
![](M_4.4.1.files/image058.gif)
3)
![](M_4.4.1.files/image060.gif)
|
Запишем некоторые тождества для арксинуса.
1.
![](M_4.4.1.files/image062.gif)
Это тождество вытекает из определения арксинуса (
— это такой угол
х, что
).
Оно аналогично основному логарифмическому тождеству
![](M_4.4.1.files/image064.gif)
2.
если если
![](M_4.4.1.files/image068.gif)
Действительно, обозначим
через
а. Тогда наше тождество будет равносильно
определению арксинуса:
если
и
![](M_4.4.1.files/image002.gif)
Заметим, что выражение
имеет смысл при любом
х, однако при
оно не равно
x.
3.
![](M_4.4.1.files/image079.gif)
Сначала вычислим синусы от левой и правой частей. И действительно, они оказываются равными:
и
![](M_4.4.1.files/image081.gif)
Если равны синусы двух чисел, это еще не означает, что равны и сами числа. В то же время правая часть доказываемого равенства – это угол,
принадлежащий отрезку
А так как левая часть тоже принадлежит этому отрезку, то левая и правая части равны между собой.
|
|