|
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид
 В силу периодичности тригонометрических
функций они имеют бесконечно много решений (или не имеют их вовсе).
Все решения выражаются через одно из них, и соответствующие формулы
приведены в таблице.
|
sin x = a |
cos x = a |
tg x = a |
сtg x = a |
|
x = x0 + 2kp
x = p – x0 + 2kp |
x = ±x0 + 2kp |
x = x0 + kp |
x = x0 + kp |
Для некоторых значений
a формулы становятся проще.
|
a |
sin x = a |
cos x = a |
tg x = a |
сtg x = a |
|
0 |
x = kp |
 |
x = kp |
|
|
1 |
 |
x = 2kp |
 |
|
|
–1 |
 |
x = p + 2kp |
 |
 |
|
|
Замечание. Вообще для нахождения всех
решений уравнения, составленного из периодических функций с общим
периодом, надо найти все решения в пределах одного периода и затем
записать ответ в виде
 где вместо
 надо подставлять
найденные решения (оно может быть не одно), вместо
Т – период, а
k обозначает произвольное целое число. |
|
Напомним, что:
Если
 то уравнения
 или
 в пределах одного
периода
 имеют два решения. Если
– одно из них, то для синуса в
качестве второго удобно взять
 (так как
), а для косинуса взять
 (так как
).
Для тангенса ситуация упрощается, так как в пределах одного периода
тангенс принимает каждое значение (которое может быть любым
вещественным числом) ровно один раз.
Для некоторых значений
a одно из решений хорошо известно. Эти значения
а соответствуют углам
и
Вспомним их еще раз, записав решения соответствующих уравнений,
лежащие на промежутке
|
 ,
 |
 ,
 |
 ,
|
 ,
 |
|
 ,
 |
 ,
|
|
|
|
 ,
|
 ,
|
 ,
|
 ,
 |
Заметим, что зная решение
уравнения вида
мы можем через
выразить одно решение уравнения
В приведенных ниже примерах в ответах везде через
k обозначено
произвольное целое число. |
|
1.
и
|
| |
|
2.
|
| |
|
3.
|
| |
|
4.
|
| |
|
5.
|
| |
|
6.
|
| |
|
7.
|
| |
|
8.
|
| |
|
9.
|
| |
|
10.
|
| |
|
11.
Делим на
(потери корней произойти не может, так как при
уравнение превратится в
а одновременно синус и косинус в нуль не обращаются).
|
| |
12.
Применяем формулу синуса двойного угла.
Полезно помнить, что
формулы удвоения выражают квадрат синуса или косинуса через первую
степень двойного угла:
Это соображение часто
помогает понизить степень уравнения. |
| |
|
13.
Заменяем
на
Получаем
Заменять
на
менее выгодно, так как при этом появляется уравнение
второй степени.
|
| |
14.
Заменяем
на
а
на
Решаем второе
уравнение:
Окончательный ответ:
и
|
| |
|
15.
|
| |
16.
|
| |
|
17.
|
| |
18.
можно записать как
|
| |