Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид
В силу периодичности тригонометрических
функций они имеют бесконечно много решений (или не имеют их вовсе).
Все решения выражаются через одно из них, и соответствующие формулы
приведены в таблице.
sin x = a |
cos x = a |
tg x = a |
сtg x = a |
x = x0 + 2kp
x = p – x0 + 2kp |
x = ±x0 + 2kp |
x = x0 + kp |
x = x0 + kp |
Для некоторых значений
a формулы становятся проще.
a |
sin x = a |
cos x = a |
tg x = a |
сtg x = a |
0 |
x = kp |
![](M_4.5.1.files/image008.gif) |
x = kp |
![](M_4.5.1.files/image008.gif) |
1 |
![](M_4.5.1.files/image010.gif) |
x = 2kp |
![](M_4.5.1.files/image012.gif) |
![](M_4.5.1.files/image012.gif) |
–1 |
![](M_4.5.1.files/image014.gif) |
x = p + 2kp |
![](M_4.5.1.files/image016.gif) |
![](M_4.5.1.files/image018.gif) |
|
Замечание. Вообще для нахождения всех
решений уравнения, составленного из периодических функций с общим
периодом, надо найти все решения в пределах одного периода и затем
записать ответ в виде
где вместо
надо подставлять
найденные решения (оно может быть не одно), вместо
Т – период, а
k обозначает произвольное целое число. |
Напомним, что:
Если
то уравнения
или
в пределах одного
периода
имеют два решения. Если
– одно из них, то для синуса в
качестве второго удобно взять
(так как
), а для косинуса взять
(так как
).
Для тангенса ситуация упрощается, так как в пределах одного периода
тангенс принимает каждое значение (которое может быть любым
вещественным числом) ровно один раз.
Для некоторых значений
a одно из решений хорошо известно. Эти значения
а соответствуют углам
и
Вспомним их еще раз, записав решения соответствующих уравнений,
лежащие на промежутке
![](M_4.5.1.files/image046.gif)
,
![](M_4.5.1.files/image050.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image054.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image050.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image060.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image064.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image064.gif) |
![](M_4.5.1.files/image064.gif) |
![](M_4.5.1.files/image064.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image054.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image050.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image054.gif) |
,
![](M_4.5.1.files/image080.gif) |
Заметим, что зная решение
уравнения вида
мы можем через
выразить одно решение уравнения
![](M_4.5.1.files/image084.gif)
![](M_4.5.1.files/image088.gif)
![](M_4.5.1.files/image092.gif)
![](M_4.5.1.files/image096.gif)
![](M_4.5.1.files/image100.gif)
В приведенных ниже примерах в ответах везде через
k обозначено
произвольное целое число. |
1.
и
![](M_4.5.1.files/image104.gif)
|
|
2.
![](M_4.5.1.files/image106.gif)
|
|
3.
![](M_4.5.1.files/image108.gif)
|
|
4.
![](M_4.5.1.files/image110.gif)
|
|
5.
![](M_4.5.1.files/image112.gif)
|
|
6.
![](M_4.5.1.files/image114.gif)
|
|
7.
![](M_4.5.1.files/image118.gif)
|
|
8.
![](M_4.5.1.files/image122.gif)
|
|
9.
![](M_4.5.1.files/image124.gif)
|
|
10.
![](M_4.5.1.files/image126.gif)
|
|
11.
Делим на
(потери корней произойти не может, так как при
уравнение превратится в
а одновременно синус и косинус в нуль не обращаются).
![](M_4.5.1.files/image136.gif)
|
|
12.
Применяем формулу синуса двойного угла.
![](M_4.5.1.files/image140.gif)
![](M_4.5.1.files/image142.gif)
![](M_4.5.1.files/image144.gif)
![](M_4.5.1.files/image146.gif)
Полезно помнить, что
формулы удвоения выражают квадрат синуса или косинуса через первую
степень двойного угла:
![](M_4.5.1.files/image150.gif)
Это соображение часто
помогает понизить степень уравнения. |
|
13.
Заменяем
на
Получаем
Заменять
на
менее выгодно, так как при этом появляется уравнение
второй степени.
|
|
14.
Заменяем
на
а
на
![](M_4.5.1.files/image174.gif)
![](M_4.5.1.files/image176.gif)
![](M_4.5.1.files/image178.gif)
Решаем второе
уравнение:
Окончательный ответ:
и
![](M_4.5.1.files/image184.gif)
|
|
15.
![](M_4.5.1.files/image188.gif)
|
|
16.
![](M_4.5.1.files/image190.gif)
|
|
17.
![](M_4.5.1.files/image192.gif)
|
|
18.
![](M_4.5.1.files/image194.gif)
можно записать как
![](M_4.5.1.files/image198.gif)
|
|