Гармонические колебания – это процесс, который может быть описан функцией вида  

Примеры
1) Колебания упругой пружины. Конец упругой пружины (точка  P ) при ее сжатии или растяжении описывает колебательные движения. Если на прямой, по которой движется точка  P,  ввести координату  x  так, чтобы в положении равновесия    оттянуть конец пружины в положительном направлении на расстояние  A  и в момент времени    отпустить его, то зависимость координаты точки  P  от времени  t  будет иметь следующий вид:    где    – некоторый коэффициент, характеризующий упругость пружины.

2) Электрический колебательный контур. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора  C  и катушки индуктивности  L.  Если эту цепь замкнуть накоротко и считать, что в ней есть некоторый запас энергии (например, ненулевой заряд в кон-денсаторе), то по этой цепи пойдет ток, напряжение которого  U  будет меняться со временем.

При идеальном предположении отсутствия потерь в цепи зависимость  U  от времени  t  будет иметь следующий вид:    где    – некоторая характеристика контура, которая вычисляется через параметры конденсатора и катушки. Константы    и    зависят от состояния цепи в данный момент времени.
Таким образом, гармоническое колебание    определяется тремя параметрами: амплитудой    угловой скоростью    и так называемой начальной фазой    Часто вместо угловой скорости    говорят о частоте колебаний    которая связана с угловой скоростью    (или иначе круговой частотой) формулой    Функция y периодична. Ее основной период равен  

Колебания приходится складывать. В механике это связано с тем, что на точку может действовать несколько сил, каждая из которых вызывает гармонические колебания. В электро- и радиотехнике сложение колебаний происходит как естественное наложение токов. Оказывается, имеет место замечательный закон: при сложении гармонических колебаний одной и той же частоты получается снова гармоническое колебание той же частоты. На математическом языке это означает, что сумма двух функций    и    есть функция того же вида:  
Достаточно научиться складывать функции вида    и    Для их сложения применяется прием введения вспомогательного угла. Итак, рассмотрим выражение    Оно похоже на формулу синуса суммы:    Числа    и    нельзя считать косинусом и синусом, однако если их разделить на число    то тогда это будет возможно. Введем угол    с помощью соотношений  

Сделаем преобразование:
  где  
 

Если  T  является общим периодом двух функций  f  и  g,  то  T  остается периодом их суммы, произведения, частного.
Сумма двух функций с различными периодами не обязательно будет периодической. Интересен случай сложения двух функций с различными, но очень близкими периодами. Рассмотрим, например, сумму функций   и    где    и    близки друг к другу. Складывая синусы, получим    Так как    то    а    поэтому    при маленьких значениях  t  и    Однако с ростом  t  множитель    будет убывать, а затем снова возрастать, причем изменения этого множителя значительно медленнее, чем изменения 

«Ровное» гармоническое колебание типа    заменится «биением», график которого изображен на рисунке.

Можно представить себе, что «биение» – это колебание, амплитуда которого медленно (и тоже периодически) меняется. Явление «биения» можно наблюдать при наложении звуков близкой частоты, при измерении величины океанских приливов, которые вызываются наложением двух периодических процессов с близкими, но различными периодами – притяжением Солнца и притяжением Луны.

Разложение на гармоники
Чистый звуковой тон представляет собой колебание с некоторой постоянной частотой. Музыка, которую мы слышим, представляет собой наложение различных чистых тонов, т. е. получается сложением колебаний с различными частотами. Преобладание звука той или иной частоты (скажем, низких звуков или высоких) связано с амплитудой соответствующих колебаний. Это знакомое нам разложение звуков на чистые тона часто встречается при изучении различных колебательных процессов.
Можно сказать так: простейшие гармонические колебания являются теми кирпичиками, из которых складывается любое колебание. На языке математики это означает, что любую периодическую функцию можно представить с наперед заданной точностью как сумму синусов.
Этот замечательный факт обнаружил еще в XVIII веке Д. Бернулли при решении задачи о колебании струны. Это показалось удивительным и невозможным по отношению к любой функции даже такому гениальному математику, как Л. Эйлер, который, кстати, является автором всей

современной символики тригонометрии. Систематически разложения периодических функций в сумму синусов (или, как говорят, на гармоники) изучал в начале XIX века французский математик Ж. Фурье. Теперь их так и называют – разложениями (или рядами) Фурье. На рисунке изображено приближение к периодической функции    в виде суммы нескольких гармоник. Разложение произвольного периодического сигнала на гармоники является главным математическим аппаратом радиотехники.