Теорема.Производные суммы и произведения
на константу вычисляются по следующим формулам:
Доказательство.
Первый шаг в вычислении
производной – это нахождение приращения функции. Обозначим аргумент
функции буквой х, значение функции буквой у и вычислим
т. е. приращение функции у на отрезке
1)
– функция
у есть сумма двух функций
u и
v.
Значение функции у в любой точке является суммой значений функций
u
и
v в этой точке:
Вычисляем :
Первая скобка — это
вторая –
Запишем
кратко результат вычисления:
т. е.
приращение суммы функций равно сумме
приращений слагаемых.
2)
— функция
у представлена как произведение постоянной
С на
функцию
u. Значение функции у в любой точке является произведением
постоянной
С на значение функции
u
в этой точке:
Вычисляем : т. е.
При умножении функции на постоянное число приращение функции
умножается на это число.
3) Объединим второй и третий шаги в вычислении производной,
т. е. составим отношение
и перейдем к пределу при
1)
Пусть
По определению производной
будет приближаться к
– к
а их сумма будет приближаться к сумме
т. е.
2)
Пусть
По определению производной
будет приближаться к
а тогда
будет приближаться к
т.е.
