Доказательство.
Первый шаг в вычислении производной – это нахождение приращения функции. Обозначим аргумент функции буквой  х,  значение функции буквой  у  и вычислим    т. е. приращение функции  у  на отрезке  
1)    – функция  у  есть сумма двух функций  u  и  v.
Значение функции  у  в любой точке является суммой значений функций  u  и  v  в этой точке:  
Вычисляем :

Первая скобка — это    вторая –    Запишем кратко результат вычисления:    т. е. приращение суммы функций равно сумме приращений слагаемых.
2)    — функция  у  представлена как произведение постоянной  С  на функцию  u.  Значение функции  у  в любой точке является произведением постоянной  С  на значение функции  u  в этой точке:  
Вычисляем :    т. е. 

3) Объединим второй и третий шаги в вычислении производной, т. е. составим отношение    и перейдем к пределу при  
1)  
Пусть    По определению производной    будет приближаться к      – к    а их сумма будет приближаться к сумме    т. е. 
2)   
Пусть    По определению производной    будет приближаться к    а тогда    будет приближаться к    т.е.