Доказательство.
  – функция  у  есть произведение функций  u  и  v.  Значение функции  у  в любой точке является произведением значений функций  u  и  v  в этой точке:    Вычисляем   
Для того чтобы выделить приращения сомножителей    и    заменим    и    на равные им выражения    и  

Окончательно
  или  
3)  

Пусть    Тогда    Перейдем к пределу в каждом слагаемом.
Если    то  

Если    то  

Третье слагаемое является произведением двух переменных множителей, ведущих себя по-разному при    Мы уже знаем, что    Если    то по принципу непрерывности    Следовательно,    что и требовалось доказать, т.е.