1. Производная степени
Производную любой степени с натуральным показателем можно получить,
пользуясь правилом дифференцирования произведения. Например, для
нахождения производной функции
представим
как
Зная производные функций
и
вычислим производную произведения:

Выпишем формулы:

Легко заметить общую закономерность:

Теперь найдем производную функции : 

Заметим следующее: если дробь
записать как
где
(т. е. как степень с отрицательным показателем), то

Если заменим
-n на
k, то
получим
т. е. формула дифференцирования степени, полученная нами для
натуральных показателей, остается верной и для целых отрицательных
показателей:
|
 |
Выведенная формула остается верной и для дробных
показателей. |
Возьмем известный уже нам случай
Это функция
По формуле получится:

|
2. Производная рациональной функции
Рациональная функция задается формулой
где
и
– многочлены. Производную многочлена мы найдем легко, зная
производную степени и правила дифференцирования.
По правилу дифференцирования дроби получим:

|
Примеры.
1)


Разумеется, промежуточное равенство лишнее. Ответ можно записать
сразу.
2)


Иногда полезно перед дифференцированием дроби сделать
преобразования.
3)

Делим почленно:

4)


5)
Если прямо применять формулу, то получим

Можно поступить иначе:

Обратите внимание на то, что если
– корень знаменателя рациональной дроби кратности
k, то
будет корнем знаменателя производной кратности, на единицу большей.
|
|