1. Производные синуса и косинуса

Если вычислять произведение тригонометрических функций по общей схеме, то мы столкнемся с довольно сложным предельным переходом. Гораздо проще найти производные тригонометрических функций, используя соображения механики. Это тем более естественно, что тригонометрические функции были введены нами для описания вращательного движения.
Пусть точка  А  движется с единичной скоростью по окружности радиуса  1  с центром в начале координат  О  в положительном направлении. Координаты точки  А  в момент времени  t  равны  cos t  и  sin t.  Вектор мгновенной скорости точки  А  в момент времени  t  направлен по касательной к окружности в точке  А,  и в силу теоремы о перпендикулярности касательной к радиусу, проведенному в точку касания, вектор    перпендикулярен вектору  
Вычислим координаты вектора    Отложив от точки  O  вектор    мы получим вектор    координаты которого равны координатам вектора    Далее, так как движение точки  A  по окружности происходит с единичной скоростью, то длина вектора    равна  1,  поэтому длина вектора    также равна  1.  Следовательно, точка  B  лежит на окружности.
Вектор    перпендикулярен вектору    поэтому если    то    Таким образом, координаты вектора    равны    и  
С другой стороны, координаты вектора скорости    являются производными от координат точки  A,  следовательно   
Найдем производную функции   
 

2. Производные тангенса и котангенса

Вычислим производную функции  
Так как , то по правилу дифференцирования дроби получим:  
Аналогично  
Таким образом,