1. Производная обратной функции
Выведем общую формулу производной обратной функции. Пусть
f и
g – взаимно
обратные функции. Как найти производную функции
g, зная
производную функции
f?
Графики
функций
и
симметричны друг другу относительно биссектрисы
l угла
хОу. Возьмем
какую-нибудь точку
и вычислим значение одной из функций в этой точке:
Тогда по определению обратной функции
![](M11_1.4.3.files/image012.gif)
Точки
и
симметричны относительно указанной прямой
l. Так как
кривые симметричны, то и касательные к ним симметричны относительно
прямой
l.
Из симметрии ясно, что угол одной из этих прямых с осью
х
равен углу другой прямой с осью
у. Если первая
прямая образует с осью
х угол
то ее угловой коэффициент равен
тогда вторая прямая имеет угловой коэффициент
![](M11_1.4.3.files/image022.gif)
Таким образом, угловые коэффициенты прямых, симметричных
относительно прямой
l, взаимно
обратны, т .е.
![](M11_1.4.3.files/image024.gif)
Переходя к производным и учитывая, что угловой
коэффициент касательной является значением производной в точке
касания, делаем вывод:
|
Значения производных взаимно обратных функций в соответствующих
точках взаимно обратны, т. е.
![](M11_1.4.3.files/image026.gif)
|
Замечание. В приведенных выше рассуждениях
предполагалось, что
т. е. касательные к кривым не параллельны осям координат.
|
Примеры.
1)
Обратной функцией будет функция
Найдем производную функции
g:
т.е.
![](M11_1.4.3.files/image036.gif)
Аналогично можно вывести формулу производной функции
![](M11_1.4.3.files/image040.gif)
2) Пусть
![](M11_1.4.3.files/image042.gif)
Обратной функцией будет
![](M11_1.4.3.files/image044.gif)
Найдем производную арксинуса:
![](M11_1.4.3.files/image046.gif)
Итак,
![](M11_1.4.3.files/image048.gif)
Аналогично вычисляется производная арктангенса:
т.е.
![](M11_1.4.3.files/image052.gif)
|
|