1. Производная показательной функции
Вычислим среднюю скорость роста показательной функции    на отрезке  

Обозначим    Очевидно, что если    стремится к нулю, то    также стремится к нулю, а тогда    следовательно, по следствию из второго замечательного предела 
Итак,

2. Производная натурального логарифма
Производную натурального логарифма можно получить, дифференцируя тождество    и применяя правило дифференцирования сложной функции: 
Разумеется, мы повторили вывод производной обратной функции.
Функция    сводится к натуральному логарифму:    где    Получим

3. Производная степенной функции
Формулу для производной степенной функции    с целым показателем    мы уже знаем:  
Используя правила дифференцирования и свойства показательной функции, мы проверим, что эта формула справедлива для любого вещественного показателя  k.
Выполним преобразование:  
Вычислим производную:    что и требовалось доказать.