Коротко об интеграле можно сказать так: Интеграл — это площадь.
Способ вычисления площади, о котором пойдет речь в этой главе,
уходит корнями в глубокую древность. Еще в III в. до н. э. великий
Архимед вычислил площадь параболического сегмента с помощью
изобретенного им «метода исчерпывания», который через две тысячи лет
был преобразован в метод интегрирования.
Простейшими фигурами, площади которых мы научимся вычислять,
являются криволинейные трапеции.
Определение. Пусть на координатной плоскости дан график
положительной функции
f, определенной
на отрезке
криволинейной трапецией (или под графиком) называется фигура,
ограниченная графиком функции
f, прямыми
и
и осью абсцисс.
Можно образовать криволинейные трапеции с помощью различных
известных функций.
Определение. Пусть дана
положительная функция
f, определенная
на конечном отрезке
Интегралом от функции
f на
отрезке
называется площадь ее подграфика.
Если мы научимся вычислять площади, то сумеем
вычислить и интегралы, а тем самым многие физические величины.
Прямое вычисление площадей некоторых фигур, а значит, и интегралов
от некоторых функций проделал еще Архимед. Однако лишь в XVII в.
Ньютону и Лейбницу удалось открыть общий способ вычисления
интегралов.
Упражнение. Используя манипулятор, который
приближённо вычисляет интеграл от функцииy=c(x2+d)
на отрезке [A; B],выполните следующие задания.
1. Вычислите площадь подграфика функции
y=x2на отрезке [-1; 1].
2. Увеличьте коэффициент c вдвое (изменив значение
c=1 на c=2).
Во сколько раз изменилась площадь?
3. Увеличьте коэффициент d на
Δd=1(изменив значение d=1
на d=2).
На сколько увеличилась площадь?Сравните изменение с произведением
Δd
на B-A.
