Традиционно интеграл от функции    на отрезке    обозначается так:  

Эта традиция имеет исторические корни. Интегральные суммы, с помощью которых приближенно вычисляется интеграл, составляются из слагаемых вида    Приближенное равенство    может быть заменено точным равенством дифференциалов    Интеграл можно представить как сумму «бесконечного числа дифференциалов». Знак интеграла   и есть стилизованная запись буквы  S – первой буквы слова «сумма» на латинском языке:  
Напоминаем, что площадь  S  можно получить суммированием слагаемых вида    Около знака интеграла ставят пределы интегрирования – концы отрезка    на котором задана функция  f.
Переменная площадь    запишется как площадь подграфика функции  f  на отрезке    т. е. в виде интеграла с переменным верхним пределом: 

Связь между функциями  f  и  S,  установленную в теореме о скорости роста площади, можно записать так: 

Определение интеграла нетрудно распространить на произвольную функцию  f,  отказавшись от требования ее положительности. Рассмотрим произвольную функцию, заданную на отрезке    и ее подграфик, т.е. часть плоскости, ограниченную графиком  f,  прямыми    и осью абсцисс.
Этот подграфик состоит из частей, лежащих выше оси абсцисс и ниже ее. Условимся брать площади первых из них со знаком «+», а вторые – со знаком «–».
По определению интегралом от функции  f  будем называть сумму площадей частей ее подграфика, взятых с указанными знаками.