Рассмотрим такое число    Что такая запись может обозначать? Можно начать с числа    затем перейти к числу   затем под последним корнем прибавить    и так «продолжать до бесконечности». Мы столкнулись с последовательностью a₁, a₂, …, у которой   а каждый следующий вычисляется по рекуррентной формуле    или    Интересующее нас число надо понимать как предел последовательности  (a_n),  т. е.    =
Чему же равно число  А  и существует ли оно? «Перейдем в равенстве    к пределу» (чуть позже разберемся в смысле этих слов). Получим  А² = А + 2,  или  А² – А – 2 = 0,  откуда  А = 2  или  А = –1.  Так как, судя по записи с радикалами,  A > 0,  то выберем значение  А = 2,  т. е.  
Начнем с переходов к пределу. Они основаны на упоминавшихся ранее правилах перехода к пределу при арифметических действиях с последовательностями.
Равенство    можно понимать как арифметическую связь между последовательностями: последовательность  b_n = a_{n + 1}  – это та же последовательность  (a_n),  только начинающаяся со второго ее члена, число  2  можно понимать как «постоянную последовательность»  c_n,  где  c_n = 2  при всех  n.  Теперь рекуррентное соотношение запишем как  b_nb_n = a_n + c_n.  Применяя правило перехода к пределу, получим  А² = А + 2.  При этом использованы два очевидных соображения: пределы последовательностей  a_n  и  b_n = a_{n + 1}  равны между собой, а предел постоянной последовательности равен значению каждого ее члена.
Казалось бы все обосновано, и задача решена. Применим метод решения к последовательности, заданной рекуррентным соотношением  a_{n + 1} = 2a_n – 1.  Обозначим    через  А  и перейдем к пределу:  А = 2А – 1 А = 1.  Действительно, если возьмем  a₁ = 1,  то получим, что  а₂ = 21 – 1 = 1,  а₃ = 1  и т. д., т. е.    Однако, если мы начнем с  а₁ = 2,  то получим последовательность  2,  3,  5,  9,  17,  …,  общий член которой легко угадывается  a_n = n² + 1  (и легко проверяется по индукции), но никакого предела у последовательности  a_n = n² + 1  быть не может. Наша ошибка состоит в том, что сформулированные (без доказательства) правила обращения с пределами предполагают существование пределов всех существующих последовательностей.
Понятно, что одни последовательности имеют пределы (сходящиеся последовательности), другие – нет (расходящиеся последовательности).