Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
Теоремы о пределах
 
1. Предел суммы, разности, произведения и частного последовательностей

Вычислению пределов последовательностей помогают следующие простые свойства.

1.
2.
3.
4. если
 

Во всех этих равенствах предполагается, что все написанные пределы существуют, или, как говорят математики, все последовательности являются сходящимися.
Вычислим несколько пределов с помощью сформулированных свойств.
1.
Можно поступить так:

Будем считать число  1  общим членом «постоянной» последовательности, предел которой, конечно, равен  1:

Итак,    что мы, разумеется, знали и раньше
(например, когда проводили горизонтальную асимптоту для построения графика функции ).
Можно было поступить по-другому:    и теперь воспользоваться свойством пределов:
  

2.

 

 


2. Признаки сходимости последовательностей. Переход к пределам в неравенствах

Для доказательства сходимости последовательности часто полезны следующие признаки.
 

Признак сходимости последовательности. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Этот признак легко иллюстрируется с помощью числовой оси: двигаясь по ней в одну сторону и не имея возможности перейти через поставленный барьер, мы неограниченно приблизимся к некоторой точке числовой оси.

В примере с корнями    где    а каждый следующий член последовательности вычисляется по рекуррентной формуле   или    последовательность  (an)  возрастающая и ограниченная. Действительно, сначала проверим, что  an < 2  при всех  n. Применим индукцию:    Если  an < 2,  то  an + 2 < 4  и    что и утверждалось. Теперь докажем возрастание последовательности. Нам надо доказать, что    больше, чем  an,  т. е. проверить неравенство    Так как  an > 0,  то его можно возвести в квадрат и получить для проверки неравенство    Решая неравенство  x2 – x – 2 < 0,  получим промежуток  (–1; 2),  в котором лежат числа последовательности  (0 < an < 2).  Существование предела полностью доказано.
 

Принцип сжатой последовательности. Если последовательности  (xn)  и  (zn)  сходятся к числу  а,  а последовательность  (yn)  такова, что при всех  n  выполняются неравенства  xn ≤ yn ≤ zn   то последовательность  (yn)  сходится к числу  а. 

 
Cn = +


Cn-1
C0 =
C =
Нахождение корней квадратного уравнения

Уравнение имеет вид: ax2 + bx + c = 0:

x2 x + = 0



 

Калькулятор выполнен в виде Java-скрипта.
Находится в коллекции свободного доступа и может быть включен в HTML-страницу простым копированием.
This free script provided by JavaScript Kit
 

Задания.

1. Постройте несколько членов рекуррентно заданной последовательности:  xn+1 = 1 + 1/xn,  x0 = 1.

2. Является ли последовательность монотонной?

3. Рассмотрите последовательности из чётных и нечётных членов данной последовательности. Можно ли утверждать, что они монотонные? Каков характер монотонности?

4*. Докажите существования предела на основе принципа сжатой последовательности.

5. Найдите квадратное уравнение, один из корней которой является пределом данной последовательности.


3. Специальные приемы вычисления пределов

Метод разностей

Пример. Найдем сумму  n  слагаемых:

Представим первое слагаемое в виде    второе слагаемое    и т.д. Последнее слагаемое равно    Теперь можно заметить, что    и все слагаемые, кроме первого и последнего уничтожаются, следовательно,  
Второе слагаемое стремится к нулю, и  
 

 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков