Изображение на весь экран - нажать клавишу F11

Определение производной

1. Механический смысл производной

В конце XVII в. великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания механического движения, который остается самым важным и простым источником математического анализа, изучающего производную и ее свойства. Вот почему на вопрос, что такое производная, короче всего ответить так:

Производная – это скорость.

Разберемся в том, что же такое скорость произвольного движения. Пусть точка движется по прямой. Мы считаем, что нам задан закон, по которому можно вычислить путь s как функцию времени t .
Например, если точка движется под действием силы тяжести с нулевой начальной скоростью, то (мы считаем, что g – ускорение силы тяжести – постоянно.)
Рассмотрим отрезок времени [t₁, t₂]. Определим среднюю скорость точки на отрезке [t₁, t₂] как отношение пройденного пути к продолжительности движения:

Для определений скорости точки в момент времени t (ее в механике часто называют мгновенной скоростью) поступим так: возьмем отрезок времени [t, t₁], вычислим среднюю скорость на этом отрезке и начнем уменьшать отрезок [t, t₁], приближая t₁ к t. Мы заметим, что значение средней скорости при приближении t_l к t будет приближаться к некоторому числу, которое и считается значением скорости в момент времени t .

Упражнение. Используя динамическую модель смоделируйте следующие движения (движение точки демонстрируется в течение первых 3 секунд движения).

1. Равномерное движение в положительном направлении.

2. Равноускоренное движение в положительном направлении.

3. Равнопеременное движение в положительном направлении с последующим возвратом в исходное положение.

Пример
При свободном падении тела зависимость пути от времени задается функцией Зафиксируем произвольный момент времени t и вычислим среднюю скорость на отрезке [t, t₁]:

Если теперь будем стягивать отрезок [t, t₁] к точке t, т. е. будем брать значения t₁ все ближе и ближе к t , то сумма t+ t₁ будет приближаться к t + t = 2t, а выражение будет приближаться к

Последнее число и является значением мгновенной скорости в точке t. Мы получим хорошо известную формулу скорости v = gt . Процедура, подобная переходу от средней скорости на отрезке [t, t₁] к мгновенной скорости в точке t при стягивании отрезка в точку t , носит название предельного перехода. Обычно говорят, что при стремлении t₁ к t выражение стремится к gt, и записывают это следующим образом:
или

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она измеряется, в точку t, или в символической записи

2. Геометрический смысл производной

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Г. Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой.

Чтобы составить наглядное представление о том, как провести касательную, нужно вообразить себе, что к кривой, изготовленной из жесткого материала (например, из проволоки), вы приставляете линейку так, чтобы она коснулась этой кривой в выбранной точке.

Если вы вырезаете из бумаги криволинейную фигуру, то ножницы направлены по касательной к ее границе.

Постараемся перевести наглядное представление о касательной на более точный язык. Будем считать, что кривая – это ломаная с очень большим числом маленьких звеньев.

Именно такая точка зрения была у создателей дифференциального исчисления. В первом учебнике по анализу, написанном 300 лет назад последователем Лейбница маркизом Лопиталем, дано следующее определение касательной: «Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой».

Хорошее представление о касательной дает следующее описание.

Посмотрим в микроскоп на маленький участок кривой. На рисунках в разных масштабах изображены участки одной и той же параболы вблизи точки М. На первом графике ясно видно, что парабола искривлена, на втором это искривление уже менее заметно, а на третьем участок кривой почти неотличим от отрезка прямой линия, которая и является касательной к параболе в точке М.

Упражнение. Используя манипулятор - "микроскоп", который показывает увеличение графика в k раз, найдите участки, где график ведёт себя как линейная функция y = ax+b с коэффициентом (увеличивая k максимально):

1. a = 1 2. a = -1 3. a = 0 4. a = 0,5 5. a = -0,5

Используя манипулятор, расположенный ниже, найдите точки, в которых функция недифференцируема, то есть график в этих точках не является прямой ни при каком увеличении.

Чтобы написать уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке Р(х; у), достаточно знать ее угловой коэффициент k. Вычисление этого коэффициента – это и есть нахождение производной. Поэтому короткое геометрическое определение производной таково:

Производная — это угловой коэффициент касательной.

Более точно объяснить, что такое касательная, так же непросто, как и дать точное определение скорости. Для этого понадобится предельный переход, аналогичный тому, который мы совершили при вычислении скорости.

Пусть дана некоторая кривая и точка Р на ней. Возьмем на этой кривой другую точку Р₁ и проведем прямую через точки Р и Р₁.
Эту прямую обычно называют секущей. Станем приближать точку Р₁ к Р. Положение секущей РР₁ будет меняться, но с приближением Р₁ к Р начнет стабилизироваться. Предельное положение секущей РР₁ при стремлении точки Р₁ к точке Р и будет касательной к кривой в точке Р.

Как перевести описанное построение на язык формул?

Пусть кривая является графиком функции у = f(x), а точка Р, лежащая на графике, задана своими координатами (х; у). Касательная является некоторой прямой, проходящей через точку Р. Чтобы построить эту прямую, достаточно найти ее угловой коэффициент. Обозначим угловой коэффициент касательной k. Сначала найдем угловой коэффициент k_l секущей РР₁. Пусть абсцисса точки Р₁ равна Из рисунка ясно, что

Для нахождения k надо устремить х₁ к х. Тогда точка Р₁ начнет приближаться по кривой к точке Р, а секущая РР₁ – к касательной в точке Р.

3. Определение производной

Таким образом, угловой коэффициент касательной можно найти как предел выражения при стремлении х₁ к х, или в символической записи:

Мы пришли к той же задаче, которая встретилась при нахождении скорости: осуществить предельный переход в выражении вида при стремлении х₁ к х.

Этот предельный переход носит название дифференцирования функции f.

Дифференцирование, или нахождение производной, – это новая математическая операция, имеющая тот же смысл, что в механике нахождение скорости, а в геометрии вычисление углового коэффициента касательной.

Для нахождения значения производной в данной точке надо рассмотреть маленький участок изменения аргумента вблизи этой точки. Производная будет приближенно равна средней скорости на этом участке (на языке механики) или угловому коэффициенту секущей (на языке геометрии). Для точного вычисления производной надо совершить предельный переход – стянуть отрезок изменения аргумента в точку. Тогда средняя скорость превратится в мгновенную, а секущая – в касательную, и мы вычислим производную.
Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе интуитивного понятия производной как «скорости изменения функции». Современное определение производной появилось лишь в XIX в. после того, как были уточнены основные понятия математического анализа: вещественное число, функция, предел. С их помощью можно дать следующее определение:

Производной функции у = f(x) называется предел отношения

при стремлении х₁ к х.

Исторически сложилась символика для обозначения участвующих в этом определении выражений. Разность значений аргумента обозначают (дельта икс) и называют приращением аргумента, а разность значений функции обозначают и называют приращением функции. Иначе говоря,

a
Средняя скорость изменения функции записывается как Стягивание отрезка в точку означает стремление к нулю. Производную функции у = f(x) обозначают с помощью штриха: у' или f'. Получается новый вариант определения производной:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Символически определение производной можно записать так:
или

<< назад вперед >>

В оглавление модулей / В расписание уроков