Если на некотором промежутке производная
тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.
Доказательство. Будем понимать
заданную функцию
у = f(x)
как закон движения материальной точки
Р
по оси
у.
Если производная обратилась в нуль, то точка
Р
остановилась. Если производная все время равна нулю, то точка
Р
все время стоит на месте, а тогда функция
у
является постоянной, что и требовалось доказать.
Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее
производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили
ранее. Таким образом,
f = const
2. Признак монотонности функции
Промежутки монотонности функции совпадают с
промежутками постоянного знака ее производной.
Доказательство. Будем
понимать заданную функцию
у = f(x)
как закон движения материальной точки
Р по оси
у
в зависимости от времени
х.
Пусть на некотором промежутке функция
f
возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка
Р
движется по оси
у
в положительном
направлении. Так как знак скорости совпадает с
направлением движения, то скорость точки, т. е. производная функции
положительна.
Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то
точка движется по оси
у
в положительном направлении, следовательно, функция
возрастает.
Аналогично рассматривается случай убывания функции.
Замечание. Если точка движется в
одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако
в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость
обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении.
Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если f(x) возрастает,то f'(x) > 0. Верно и обратное.
Однако если
f'(x)
обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом
промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если
включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности
(как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то
можно коротко результат исследования записать так:
Упражнение. Используя манипулятор, который показывает изменение графиков движения,
скорости и ускорения равнопеременного прямолинейного движения точки
при изменении параметров этого движения: начального положения точки (x0),
начальной скорости
(v0)
и ускорения (a)для выполнения следующих заданий.
1. Найдите величину параметра
a,
при котором график скорости - горизонтальная прямая. Какой
особенностью будет обладать график движения при найденном значении
a?
Объясните результат на основе монотонности функции.
2. Найдите значения параметров
v0и a,
при которых точка движется
назад. Какой особенностью будет обладать график движения при
найденных значениях параметров?
Объясните результат на основе признака монотонности функции.
3. Найдите значения параметров
v0и a,
при которых точка движется
вперёд с убывающей (возрастающей) скоростью. Какой
особенностью будет обладать график движения при найденных значениях
параметров?
Объясните результат на основе признака монотонности функции.
4. Проверьте свои выводы, сделанные при манипулировании
графиками, на динамической модели прямолинейного равнопеременного
движения.
