Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
Экстремумы
 
1. Необходимое условие экстремума функции.

В точке экстремума производная обращается в нуль.

Доказательство. Рассмотрим заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р.  Пусть при  х = х0  функция  у  имеет экстремум. Тогда в момент времени  х = х0  точка  Р  занимает на оси  у  самое высокое (или самое низкое) положение. В этот момент времени точка останавливается, т. е. ее скорость обращается в нуль, а значит,  f(x0) = 0,  что требовалось доказать.
Обратное утверждение неверно. Нельзя утверждать, что если в некоторой точке производная обратилась в нуль, то в этой точке  у  функции экстремум. Кроме равенства производной нулю наложим на функцию дополнительное условие.
 2. Достаточное условие экстремума функции

 Если в некоторой точке производная обращается в нуль и, кроме того, проходя через нее, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума.

Доказательство. Рассмотрим заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у  в зависимости от времени  х.  Пусть  f(x0) = 0.  Если перед точкой  х0  имеем    то до момента остановки скорость точки  Р  была положительна и точка  Р  двигалась по оси  у  вверх. Так как по условию производная, проходя через точку  х0,  меняет свой знак, то после  х0  имеем    т. е. после момента остановки скорость точки  Р  становится отрицательной и точка  Р  движется вниз. Тогда в момент времени  х0  точка  Р  достигает самого высокого положения на оси  у  и функция  f  принимает максимальное значение.

Вернемся еще раз к различию между необходимыми и достаточными условиями экстремума функции. Пусть производная функции обратилась в нуль в некоторой точке  х0  (необходимое условие). С механической точки зрения это означает, что материальная точка  Р,  закон прямолинейного движения которой задается исходной функцией, в момент времени  х0  остановилась. Ясно, что после мгновенной остановки точка  Р  могла начать двигаться в обратном направлении, а могла продолжать двигаться в том же направлении, что и раньше. В первом случае скорость точки  Р  поменяла свой знак, а во втором нет. Соответственно в первом случае положение точки  Р  на числовой оси достигло экстремального значения, а во втором нет.
Мы выделили необходимое условие экстремума (обращение производной в нуль) потому, что оно легко проверяется. Точки экстремума надо искать, прежде всего, среди корней производной. Этих корней, как правило, мало (или вообще нет), поэтому выгодно сначала ограничить число точек, «подозрительных на экстремум», а потом уже проверять для них выполнение дополнительных, достаточных условий. Следует, кроме того, сказать, что необходимое условие экстремума легко обобщается на более широкий класс функций, чем тот, который мы изучаем в школе, в то время как достаточные условия обобщаются не так просто.

Упражнение. Используя манипулятор, который показывает изменение  графиков движения, скорости и ускорения равнопеременного прямолинейного движения точки при изменении параметров этого движения: начального положения точки  (x0),  начальной скорости  (v0)  и ускорения  (a)  для выполнения следующих заданий.

1. Найдите величину параметра  a,  при котором точка в течение первых трёх секунд движения делает остановку и после этого движется в противоположном направлении. Какой особенностью будет обладать график движения при найденном значении  a? Объясните результат на основе достаточного условия экстремума.

2. Найдите значения параметров  v0  и  a,  при которых точка, начиная двигаться влево (в обратном направлении) в течение первых трёх секунд  делает остановку и затем движется назад. Какой особенностью будет обладать график движения при найденных значениях параметров? Объясните результат на основе достаточного условия экстремума.

3. Найдите значения параметров  v0  и  a,  при которых точка сначала движется вправо (вперёд) с убывающей скоростью, затем в момент  t=1  делает остановку, после чего движется назад. Какой особенностью будет обладать график движения при найденных значениях параметров? Объясните результат на основе достаточного условия экстремума.

4. Найдите значения параметров  x0, v0  и  a,  при которых точка сначала движется вправо (вперёд) с убывающей скоростью, затем в момент  t=1  делает остановку в точке  x=1,  после чего движется назад. Какой особенностью будет обладать график движения при найденных значениях параметров? Объясните результат на основе достаточного условия экстремума.

5. Проверьте свои выводы, сделанные при манипулировании графиками, на динамической модели прямолинейного равнопеременного движения.

 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков