Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
Построение графика
 
При построении графика рекомендуется следующая последовательность действий.

1. Область определения функции.

При построении графика функции, прежде всего, нужно уточнить и записать ее область определения. Если не сделано специальных оговорок, то считается, что функция задана в своей «естественной области определения». Для многочленов это вся числовая ось  R,  для рациональных функций это вся числовая ось за исключением тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль.
Найдя область определения, надо отметить ее на оси абсцисс. Если эта область – вся числовая ось, то никаких отметок можно не делать. Если эта область – промежуток числовой оси, то полезно провести вертикальные прямые через его концы. Эти прямые ограничат полосу, в которой будет лежать график функции. Если отдельные точки не входят в область определения функции (например, корни знаменателя), надо отметить их на оси абсцисс и провести через них вертикальные прямые.
2. Корни функции

Для отыскания корней функции приравниваем ее к нулю, решаем уравнение и наносим корни на ось абсцисс. Это первые найденные нами точки будущего графика функции.
3. Промежутки монотонности и экстремумы функции.

Находим промежутки монотонности и точки экстремума. Вычисляем значения функции в точках экстремума, а также в других критических точках, где функция определена. Строим эти точки на плоскости. При этом полезно сразу обозначить поведение функции вблизи этих точек.
4. Граничные точки.

Если область определения состоит из одного или нескольких промежутков, надо исследовать поведение функции вблизи границ этих промежутков. При этом может представиться несколько различных случаев:

Обозначим рассматриваемую граничную точку  х0.

а) В точке  х0  функция «обращается в бесконечность». Типичный случай – корень знаменателя рациональной функции. Через точку  х0  у нас уже проведена вертикальная прямая. Около точки  х0  график функции будет уходить вверх или вниз, приближаясь к этой прямой. Для того чтобы узнать, вверх или вниз уходит график, надо определить знак функции слева и справа от точки  х0.  Характерные случаи изображены на рисунке.
Тем самым мы построим вертикальные асимптоты графика функции.

б) Граничная точка  х0  входит в область определения функции (типичный пример – точки    для функции ).
Надо вычислить значение функции в точке  х0  и построить полученную точку.

в) В область определения функции входит бесконечный промежуток – вся числовая ось или промежуток вида    В этом случае полезно представить себе поведение функции при больших по модулю значениях аргумента или, как говорят, «на бесконечности», т. е. при    или  

Найденной информации достаточно для того, чтобы, соединив плавной кривой построенные точки, получить эскиз графика.
 

Упражнение. Используя манипулятор варьирования графика функции    и демонстрации его характеристик, выполните следующие задания.

1. Измените область значений (не меняя самого графика) так, чтобы на области значения функция стала монотонной (монотонно возрастающей, монотонно убывающей).

2. Перемещая точки, определяющие график функции, найдите такое положение, при котором корнями функции будут  1  или  -1. Можно ли добиться того, чтобы функция имела оба эти корня? Не имела корней?

3. Перемещая точки, определяющие график функции, найдите такое положение, при котором функция будет  иметь ровно один экстремум (максимум, минимум). Найдите положение, при котором функция не имеет экстремумов. Можно ли добиться того, чтобы функция имела три экстремума? Ответ обоснуйте.

4. Перемещая точки, определяющие график функции, найдите такое положение, при котором функция будет  имеет две точки разрыва. Найдите положение, при котором функция стремится к +¥ в точке разрыва. Сколько разрывов при этом будет иметь функция? Ответ обоснуйте.

5*. Точки перегиба и промежутки выпуклости.

Находим точки перегиба и интервалы выпуклости графика функции.
6*. Наклонные асимптоты.

Выясняем наличие вертикальных и наклонных асимптот.
Теперь, используя информацию, полученную в пунктах  1-6,  плавно соединяем уже имеющиеся части графика. Если у графика есть наклонные асимптоты, то проводим соответствующие прямые и приближаем график функции к этим прямым.
Примеры.
1. Построить график функции  
Решение. Область определения – вся числовая ось  R.  Находим корни функции:

Наносим корни на ось абсцисс. Находим и исследуем критические точки (эта задача решена в модуле  2.9): в точке  х = –1  максимум    в точке  х = 1  минимум   В модуле  2.10  мы выяснили, что у этой функции точка   является точкой перегиба. На промежутке    график функции выпуклый вверх, на промежутке     график функции выпуклый вниз.
Асимптот у графика функции нет. На бесконечности поведение функции определяется первым слагаемым   Строим график.
 
 
2. Построить график функции  

Решение. Область определения – вся числовая ось, кроме точки  х= 1  (можно записать так: ). Строим прямую  х = 1.
Это вертикальная асимптота. Находим корни функции:  у=0, – корней нет. Критические точки: – точка максимума;   – точка минимума. Вычислив значения функции в этих точках, строим точки  (3; 6)  и  (–1; –2).  Находим знаки  у  слева и справа от точки  х = 1.  Так как числитель дроби    положителен при всех    то ее знак определяется знаком знаменателя: при  х < 1  функция отрицательна, при  х > 1  положительна. Рисуем «хвосты» около прямой  
 

 

 

 

Выясняем, есть ли у функции наклонные асимптоты  

«На бесконечности» дробь ведет себя примерно так же, как прямая    т.е. как линейная функция. Полезно дополнительно построить точку пересечения графика с осью  у:  
Строим график.

Упражнение. Используя манипулятор варьирования графика функции  ,  выполните следующие задания.

1. Найдите значения параметров, при которых график имеет горизонтальную асимптоту.

2. Найдите значения параметров, при которых график имеет наклонную асимптоту  y = x  (y = -x).

3. Найдите значения параметров, при которых график имеет наклонную асимптоту  y = x + 1  (y = -x +1).

4. Найдите значения параметров, при которых график имеет "устранимый разрыв" - точку, в которой график не определён, но предел в этой точке существует.

 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков