Понятие производной возникло как математическое
описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением
производной является вычисление скорости. Скорость произвольно
движущейся точки является векторной величиной, так как она
определяется с помощью вектора – перемещения точки за промежуток
времени. Рассмотрим простейший случай – движение точки по прямой.
При прямолинейном движении точки ее положение, перемещение, скорость,
ускорение и другие характеристики, которые, вообще говоря, имеют
векторный смысл, можно задать одним числом, т. е. считать скалярными
величинами.
Составим таблицу перевода понятий механики на язык математики,
применяя более привычные для физики обозначения.
№
Понятие
на языке механики
Обозначения и формулы
Понятие
на языке математики
1
Время
t
Независимая переменная,
аргумент
2
Положение материальной
точки, ее координата
x
Зависимая переменная
3
Закон движения
х =
x(t)
Функция
4
Приращение времени,
интервал времени
t
= t2-
t1
Приращение аргумента
5
Перемещение
x
=
x(t2)–
x(t1)
Приращение функции
6
Средняя скорость
Отношение приращения функции к
приращению аргумента
7
Скорость (мгновенная)
v(t) =
lim vср
v(t) = x'(t)
Производная
8
Закон, описывающий
равномерное движение
Линейная функция
9
Скорость равномерного движения
v = х' =
k
Коэффициент при
t,
угловой коэффициент прямой
11
Скорость равноускоренного движения
v =
x' =
at +
v0
Линейная функция
12
Ускорение равноускоренного движения
a = v'
Удвоенный коэффициент
при
t
2
Замечание.Обратим внимание на обозначения. В физике производная
по времени обычно обозначается не штрихом, а точкой:
(читается: «Икс с точкой»).
Ускорение произвольного движения определяется как скорость изменения
скорости, т. е. как производная скорости по времени:
а = v' =
Так как скорость есть производная координаты, а ускорение
есть производная скорости, то ускорение называют второй производной
координаты и обозначают так:
а = х" =
Через координату точки
х = x(t)
и ее производные можно выразить
другие механические величины:
сила (m — масса), импульс кинетическая энергия
Геометрическую связь между графиками перемещения, скорости и
ускорения можно проследить по рисунку
Упражнение. Используя манипулятор, который показывает изменение графиков движения,
скорости и ускорения равнопеременного прямолинейного движения точки
при изменении параметров этого движения: начального положения точки (x0),
начальной скорости
(v0)
и ускорения (a)ответьте на следующие вопросы.
1. Как влияет параметр x0
на закон изменения скорости и закон движения?
2. Как влияет параметр v0
на закон изменения скорости и на закон движения?
3. Как влияет параметр a на закон
изменения скорости и закон движения?
t
= t
