1. Формула для приближенных вычислений и ее геометрический смысл.

Одним из важнейших приложений производной является возможность приближенно вычислять значения функций. Пусть нам дана функция  у = f(x)  и точка  х₀,  значение функции в которой известно:  у₀ = f(x₀).  Мы хотим вычислить приближенно значение функции в точке  х,  близкой к  х₀.
Если мы знаем приращение функции    на отрезке    то точное значение  f(x)  получается из    прибавлением    равного  f(x) – Приближенные формулы основаны на замене    другим выражением, которое вычисляется более просто. Замена    на линейную функцию  dy,  т. е. замена приращения функции ее дифференциалом, дает наиболее простые приближенные формулы. При замене выражения приближенным значением используется знак  
Основная, наиболее простая формула для приближенных вычислений значения функции может быть записана так:    или, раскрывая более подробно:  
Приведем другие виды записи этой приближенной формулы:
Геометрически замена    на  dy  означает, что вблизи точки  х  мы вместо функции  y = f(x)  берем линейную функцию, т. е. маленький отрезок графика заменяем касательной.
Уравнение касательной к графику функции  у = f(x)  в точке  (х₀, y₀),  где y₀ = f(x₀),  имеет вид    (или    где угловой коэффициент  k  равен значению производной в точке  х₀: 
Замена функции  у = f(x)  на линейную функцию  у = у₀ + k(x - х₀)  является первым шагом в построении приближенных формул для вычисления значений функции вблизи некоторой точки.

2. Приближенные вычисления для степенных функций.

Дана степенная функция  у = хⁿ.  Зафиксируем точку  х₀  и применим полученную выше формулу:

Ту же формулу можно применить и для приближенного вычисления корней, учитывая, что  
Получим 
 

Полезно запомнить формулы при  х₀ = 1:  
 

3. Приближенные формулы для тригонометрических функций

Эта формула дает тем точнее значение синуса, чем ближе  t  к нулю. Возможность заменять  sin t  на  t  при маленьких значениях  t  широко употребляется в приближенных вычислениях. Для получения других приближенных формул выпишем дифференциалы тангенса и косинуса: 

у = cos x,   dy = –sin x dx.
При  x = 0  получим приближенное значение тангенса:  

Применяя этот же прием к косинусу, мы получим, что дифференциал косинуса при  х = 0  равен  –sin 0 dx,  т. е. равен  0.

Это означает, что главная часть приращения косинуса равна нулю и в первом приближении  cos x ≈ cos 0 = 1.  Можно получить более точную формулу таким путем. Возьмём приближенное равенство    Заменим в этой формуле  sin x  на  х  и воспользуемся приближенной формулой для квадратного корня:

Полученная приближенная формула для косинуса вблизи точки  х = 0  весьма точна.

4. Приближенные формулы для показательных и логарифмических функций

Пусть  у = е^х.  Возьмем  х₀ = 0.  Получим  dy = е^х dx,
  т.е.  

Аналогично для  у = ln х  и  х₀ = 1  получим
 т.е.