Мы установили, что интегрирование
является операцией, обратной дифференцированию. Вычисление интеграла
сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной
функции.
Определение. Первообразной для функции
f называется такая функция
F,
производная которой равна данной функции.
Иными словами, равенство
F' = f
можно прочесть двумя способами:
f
– производная функции
F
или
F
– первообразная для функции
f.
Для обозначения первообразной традиционно используют
знак неопределенного интеграла, т. е. интеграла без указания
пределов интегрирования:
На рисунке изображены графики квадратного трёхчлена y=x2+cx+d
и трёх его первообразных
2. Свойства первообразной.
Перечислим свойства первообразной.
1. Если
F–
первообразная для функции
f,
то
F + С,
где
С
– константа, также является первообразной для той же функции.
Действительно,
(F + С)' = F' +
С ' = f + 0 = f.
2. Если
F1
и
F2
– две первообразные для одной и той же функции
f,
то они отличаются на постоянное слагаемое.
Действительно, если
F1'
= f и
F2'
= f, то
(F1
- F2)' = F1 ' – F2' = f - f = 0.
Функция, производная которой тождественно равна нулю,
является постоянной. Итак,
F1 –
F2 = С.
Таким образом, все первообразные для функции
f
получаются из одной из них прибавлением к ней произвольной
постоянной. Надо помнить, что знак является «неопределенным» в том смысле, что он
обозначает какую-нибудь первообразную.
3.
Действительно, пусть
F
и
G
– первообразные для функций
f
иg
соответственно. Тогда
F + G
является первообразной для функции
f + g: (F + G)'
= F' + G' =f + g.
4.
Доказывается аналогично.
5. Линейная замена переменной.
Теорема. Пусть
F
– первообразная для функции
f.
Тогда
Действительно, вычислим производную от
F(kx +
b):(F(kx + b))' =
kF '(kx + b) = kf (kx + b).
Отсюда
F (kx + b)
является первообразной для функции
kf (kx + b).
