Ситуация, в которой подряд независимо друг от друга производятся одинаковые испытания, встречается очень часто, например, бросание монеты или игральной кости, стрельба из одного орудия без учета результата произведенных выстрелов, параллельное включение в сеть одинаковых предохранителей и т. п. Разберем более подробно пример с бросанием монеты. При каждом испытании есть два равновероятных исхода:  О (выпал орел) и  Р (выпала решка). Допустим, что монету бросили подряд  n  раз. Сколько последовательностей исходов при этом можно получить? Эта комбинаторная задача фактически уже была решена раньше. Последовательность результатов испытаний можно записать как слово в двухбуквенном алфавите, например  ОРРОР. Число  n -буквенных слов в таком алфавите равно  2ⁿ.  Таким образом, общее число возможных вариантов при повторном бросании монеты будет равно  2ⁿ.
Какова вероятность того, что при  n-кратном бросании монеты все время будет выпадать орел? Ясно, что из всех возможных  2ⁿ  вариантов благоприятным является один:    Искомая вероятность равна  
 

Возьмем  n = 3.  Если нас интересует только то, сколько раз выпадет орел (или решка), то возможные варианты будут такими:  1) три раза;  2) два раза;   3) один раз;  4) ни одного раза. Вероятности этих событий равны соответственно   Проводя перебор вариантов для  n = 4,  мы получаем такой набор вероятностей:    Нетрудно заметить, что в числителях стоят элементы треугольника Паскаля.

Составим таблицу. Она получается из треугольника Паскаля делением каждой строки на соответствующую степень двойки, то есть сумму чисел в этой строке, и представляет таблицу вероятностей различных исходов при повторном бросании монеты.
 

Слагаемое    дает вероятность того, что при повторном  n -кратном испытании событие  A  наступит ровно  k раз.
В частности, при    наступление и ненаступление события  A  при каждом испытании равновероятны.
 

Рассмотрим два независимых друг от друга события  А  и  В.  Пусть событие  С  состоит в том, что происходят события  А  и  В  (такое событие  С называют произведением событий  А  и  В).
Если вероятность события  А  наступает в  m₁  случаях из  n₁  возможных (то есть вероятность  p₁ = m₁ / n₁),  а событие  В  в  m₂  случаях из  n₂  (p₂ = m₂ / n₂)  и если эти события происходят независимо друг от друга, то вероятность  p  наступления двух событий  А  и  В  равна  m₁m₂ / n₁n₂  (теорема о произведении вероятностей, основанная на комбинаторном правиле произведения).
Можно записать эту теорему формулой 
Применяя эту формулу, можно вычислить вероятность сложного события.
Пусть в последовательности из  n  испытаний событие  A  наступает с вероятностью  p.  Тогда вероятность, что событие  А  наступит в каждом из  k  испытаний и не наступит (то есть произойдет событие    с вероятностью  1 – p)  в каждом из остальных испытаний, равна 

Теперь можно более точно обосновать формулу для вероятности  p_k
того, что при повторном  n -кратном испытании событие  А,  наступающее с вероятностью  р,  появилось ровно  k  раз:

Действительно, если мы зафиксируем номера испытаний, когда произойдет и когда не произойдет событие  А,  то получим вероятность, равную  Так как фиксировать набор из  k  номеров можно    способами, то, применяя теорему о сумме вероятностей, получим требуемую формулу.