1. Понятие математического ожидания
Представим себе, что в беспроигрышной лотерее разыгрывается шесть призов стоимостью  а₁,  а₂,  …,  а₆  рублей. Выпадение любого из шести номеров разыгрываемых призов равновероятно. На какой выигрыш в среднем может рассчитывать человек, многократно участвующий в лотерее и каждый раз обладающий одним билетом? Ясно, что ожидаемым выигрышем надо считать среднее арифметическое стоимостей призов, то есть число

Рассмотрим более сложную ситуацию, когда возможные исходы испытания не являются равновероятными. Пусть, например, при розыгрыше трех призов стоимостью  а₁,  а₂  и  а₃  вероятности выигрыша их равны соответственно      и    (То, что    говорит о том, что должна наступить ровно одна из предполагаемых возможностей). Тогда для определения математического ожидания выигрыша надо числа  а₁,  а₂  и  а₃  взять с весами, равными вероятностям выигрыша соответствующего приза, то есть взять число  

Рассмотрим задачу де Мере о справедливом разделе банка. Пусть в игре, состоящей из последовательной серии партий, в каждой из которых выигрывает один из игроков, участвовало три игрока. Выигрывает банк тот, кто первым оказывается победителем в четырех партиях. Игра была прервана после шести партий, в одной из которых выиграл первый игрок, в двух – второй и в трех – третий. Как им справедливо разделить банк? Это и есть задача определения математического ожидания выигрыша для каждого игрока. Ситуация здесь простая – если мы найдем вероятности первым выиграть четыре партии (после уже состоявшихся шести партий) для каждого из игроков, то весь банк и надо разделить пропорционально этим вероятностям.
Итак, первому игроку осталось выиграть три партии, второму две и третьему одну. Попробуем решить задачу просто перечислением вариантов. Будем выписывать в виде «дерева» все равновероятные возможности. Цифра означает номер игрока, выигравшего в очередной партии.

Кружками обозначены ситуации, когда кто-либо (он указан последним) выиграл четыре партии. Вероятности ситуаций в первой колонке равны во второй – в третьей – в четвертой –

Вероятность выигрыша каждого из участников складывается из вероятностей всех ситуаций, где он завершает игру.
1: (он завершает игру в одном случае после трех партий и в трех случаях после четырех)

2:

3:

В итоге банк надо разделить в пропорции  2 : 6 : 19.  Математические ожидания выигрышей каждым игроком равны      и    где  А  – величина банка.

Пусть случайное событие  А  состоит в появлении одного из числовых значений  А₁,  А₂,  …,  с вероятностями  p₁,  p₂,  …,  ( ). Математическим ожиданием события  А  называют число  
В случае, когда исходы равновероятны, т. е. когда все    равны   математическое ожидание  М  равно среднему арифметическому

Пусть в игре возможны два исхода – выигрыш и проигрыш. Пусть  p – вероятность выигрыша, причем величина выигрыша равна  а.  Тогда вероятность проигрыша равна  1 – p,  его величину будем считать равной  (–b).  Число  M = ap– b(1 – p)  называется математическим ожиданием результата игры. Если М > 0,  то игрок будет в выигрыше, если  M < 0  – то в проигрыше. Например, если вероятность выигрыша равна    но в случае выигрыша он получает в пять раз больше, чем теряет в случае проигрыша, то математическое ожидание вычисляется так:    где  а – величина ставки. Так как  то математическое ожидание положительно и игроку стоит рисковать.