Мнимая единица
i
по определению умножения обладает тем свойством, что ее
квадрат равен
–1,
т. е. она является квадратным корнем из
–1.
Комплексное число
–i
обладает тем же свойством:
(–i)2
= ((–1)
i)2 = (–1)2
i2 = –1,
что, разумеется, не удивительно. Можно сказать, что
некоторый один квадратный корень из
–1
мы обозначим через
i,
а тогда второй корень запишется как
(–i).
Замена
i
на
(–i)
приводит к понятию комплексного сопряжения.
Комплексно сопряженным с числом
z = a + bi
называется число
a – bi,
которое обозначается
Таким образом, мы определили отображение, по которому
каждому комплексному числу
z
ставится в соответствие число
комплексно сопряженное с ним.
Комплексное сопряжение имеет наглядную геометрическую интерпретацию
– точки
M(a; b)
и
соответствующие комплексно сопряженным числам
z = a + bi
и
симметричны друг другу относительно вещественной оси.
Перечислим свойства этого отображения.
1. т. е. если мы два раза выполним комплексное сопряжение,
то вернемся к исходному числу.
2. т. е. комплексное число равно своему сопряженному в
том и только в том случае, когда оно вещественное (его мнимая часть
равна нулю).
3. т. е. сопряженное к сумме комплексных чисел равно
сумме сопряженных.
4. т. е. сопряженное к произведению комплексных чисел
равно произведению сопряженных.
Первые три свойства очевидны.
Полезно заметить, что они отражают простые свойства осевой симметрии.
Из этих свойств лишь последнее не очевидно и нуждается в проверке: =
a1a2 – b1b2 – (a1b2
+ a2b1)i. =
(a1 – b1i)(a2 – b2i) = a1a2
– (–b1) (–b2)
+ (a1(–b2)
+ a2(–b1))i
= a1a2 – b1b2 – (a1b2
+ a2b1)i,
что и требовалось доказать.
Упражнение. Используя манипулятор,
изображающий два числа на комплексной плоскости, выполните следующие задания.
1.Изобразите на комплексной плоскости два
сопряжённых числа.
2. Изобразите на комплексной плоскости сумму и разность
сопряжённых чисел. Какова особенность расположения полученных чисел
на комплексной плоскости?
3. Изобразите на комплексной плоскости произведение и частное
сопряжённых чисел. Какова особенность расположения полученных чисел
на комплексной плоскости?
