Действия над комплексными числами в алгебраической
форме
1. Сложение комплексных чисел.
Для комплексных чисел определены действия сложения и умножения.
Суммой комплексных чисел
z1 = a1 + b1i
и
z2 = a2 +
b2i называется комплексное число
z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, т. е. при сложении комплексных чисел складываются их вещественные и мнимые
части.
Для сложения комплексных чисел выполняются обычные
арифметические законы.
1)
z1 + z2 = z2 + z1 – коммутативный, или переместительный, закон
сложения.
2)
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) – ассоциативный, или
сочетательный, закон сложения.
3) Число
0 = 0 + 0i играет роль нуля:
z + 0 = 0 + z = z.
4) Для числа
z = a + bi
число
(–z) = –a – bi играет роль
противоположного числа:
z + (–z) = (–z) + z = 0.
Эти законы выполняются для вещественных чисел. Их проверка для
комплексных чисел выполняется без затруднений, так как при сложении
комплексных чисел их вещественные и мнимые части «не перемешиваются».
2. Геометрическая интерпретация
сложения
Сложение комплексных чисел допускают наглядную
геометрическую интерпретацию. Пусть даны два положительных числа
z1
= a1 + b1i и
z2 = a2 + b2i. Им соответствуют точки M1(a1; b1)
и
M2(a2; b2). Сумма чисел
z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i соответствует точке M,
координаты которой равны сумме координат
точек
M1
и
M2. Это означает, что сложение комплексных чисел
соответствует правилу параллелограмма для сложения векторов:
3. Умножение комплексных чисел.
Умножение комплексных чисел производится по следующему правилу:
(a1
+ b1i)(a2 + b2i) = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Запишем число
0 + 1i
как i.
По определению умножения
i2 = (0 + 1i)(0 + 1i) = (0
– 1) + (0 – 0)i = –1, поэтому число
i
называют мнимой единицей.
Заметим, что квадраты вещественных чисел (именно с ними
мы имели дело до сих пор) всегда неотрицательны.
Определение умножения комплексных чисел можно дать также следующим
образом.
При умножении комплексных чисел
z1 = a1 + b1i и
z2 =
a2 + b2i мы умножаем каждый член на каждый, разрешаем переставлять
сомножители и заменяем произведение i
· i = i2 на вещественное число
–1: (a1 + b1i)(a2 + b2i) = a1·a2 + a1·b2i + b1i·a2 + b1i
·b2 i =
a1a2 + a1b2i + + a2b1i + b1b2i2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i.
Как мы видим, произведение комплексных чисел
определяется более сложно, чем сложение – вещественные и мнимые
части не выступают изолированно друг от друга, а перемешиваются.
Поэтому арифметические законы умножения требуют проверки, которая не
сложна, но занимает довольно много места, и мы ее пропускаем.
5)
z1·z2 = z2·z1– коммутативный закон умножения.
6) (z1·z2)·z3 = z1·(z2·z3) – ассоциативный закон умножения.
7) Число
1 = 1 ·0i
при умножении на любое комплексное число
оставляет это число без изменений:
1·z = (1 + 0i)·(a + bi) = 1·a – – 0b + (1·b + 0a)i = a + bi = z.
8) Для каждого числа
z0
существует обратное число.
Укажем формулу для обратного числа: если
z = a + bi0,
то
вещественное число
a2 + b2отлично от нуля, и можно рассмотреть
число Проверкой убеждаемся, что
zz–1 = 1:
Заметим, что если число
z – вещественное, т. е. если
z = a
и
a 0,
то обратное к
z, вычисленное по данному определению, равно
т. е.
совпадает с обычным обратным числом, известным для вещественных
чисел.
9) К перечисленным выше основным законам арифметических действий
добавим дистрибутивный, или распределительный закон: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
Число
0
при действии сложения и число
1 при действии
умножения называются нейтральными элементами, так как они не
изменяют числа, с которыми взаимодействуют:
0 + z = z + 0 = z,1z
= z1 = z.
Упражнение. Используя манипулятор,
изображающий два числа на комплексной плоскости, выполните следующие задания.
1. Проиллюстрируйте сложение и вычитание
чисел z = 2 + 2iиu = -1 + 2i.
Проделайте вычисления и поясните рисунок.
2. Проиллюстрируйте умножение и деление чисел z = 2 + 2iиu = -1 - i.
Проделайте вычисления и поясните рисунок.
