Положение точки  M  на плоскости можно задать с помощью декартовых координат:  M(x; y).  Можно иначе определить ее положение, задав ее расстояние r до начала координат, т. е. длину отрезка  OM = r  и угол  α,  образованный вектором     и положительным направлением оси абсцисс. Мы исключаем при этом одну точку, начало координат, для которой этот угол не определен. Заметим, что расстояние  r  определено однозначно, а угол  α  с точностью до целого кратного  2π.  Система задания точки плоскости с помощью чисел  r  и  α  носит название полярной системы координат. Связь между декартовыми и полярными координатами точки очень проста:

Расстояние  r  выражается через декартовы координаты обычным образом    а для нахождения угла   придется решить написанную выше систему уравнений относительно  α. 
Заметим, что если    (т. е. если точка  M  не лежит на оси ординат), то    и для точного определения  α достаточно знать знаки координат  x,  y,  т. е. знать, в какой из координатных четвертей лежит точка  M.
Используя полярную систему координат, можно иначе записать комплексное число  z 0.  Если  z = a + bi,  то  (a; b)  – декартовы координаты соответствующей точки на плоскости. Пусть полярные координаты этой точки равны  r  и  α.

Подставим в алгебраическую запись числа  z = a + bi  выражение координат  a  и  b  через  r  и  α.  Получим      (Мы поставили символ  i  перед вещественным коэффициентом  sin α,  чтобы не нужно было писать лишние скобки). Форма записи комплексного числа  z в виде  z = r(cos α + i sin α)  называется тригонометрической формой комплексного числа. Напомним еще раз, что в такой форме можно записать любое комплексное число, кроме нуля. При этом модуль  r  определен однозначно, а аргумент  α  с точностью до  2πk,  k Z.

Запишем условия равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме:

тогда и только тогда  r₁ = r₂;    при некотором  k Z.
Все комплексные числа, имеющие один и тот же модуль  r,  лежат на окружности с центром в начале координат и радиуса  r,  а все числа с одним и тем же аргументом – на луче, выходящем из начала координат и образующем угол  α  с положительным направлением оси абсцисс.

Отметим свойства модуля.
1. |z| 0,  причем  |z| = 0 z = 0.
2.
3. |z₁z₂| = |z₁| |z₂|,  т. е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей.
4. |z₁ + z₂| |z₁| + |z₂|.
Первые два из этих свойств очевидны. Доказательство третьего свойства сводится к проверке алгебраического тождества:
(a₁a₂ – b₁b₂)² + (a₁b₂ + a₂b₁)² = (a₁² + b₁²)(a₂² + b₂²).
Свойство  4  – это запись геометрического неравенства треугольника