Изображение на весь экран - нажать клавишу F11

Формула Муавра

Если мы возьмем комплексное число z = r (cos α + i sin α) и перемножим его само на себя n раз, т. е. вычислим n -ую степень числа z, то получим число zⁿ в тригонометрической форме.
zⁿ = z z … z = r r … r (cos (α + α + … + α) + i sin (α + α + … + α)) = rⁿ (cos nα + i sin nα).
Полученная формула носит имя Муавра, в честь французского алгебраиста, жившего в XVIII веке.

zⁿ = rⁿ (cos nα + i sin nα)

Примеры
1. Записать число z = 1 + i в тригонометрической форме.
Чтобы найти аргумент z, изобразим число z на плоскости точкой M(1; 1) и сразу увидим, что в качестве аргумента можно взять число Разумеется, то же можно получить формальными выкладками: tg α = 1, k Z. Так как sin α > 0 и cos α > 0, то берем Итак,

2. Вычислить (1 + i)²⁰⁰⁶. Используем тригонометрическую форму числа 1 + i и применяем формулу Муавра:
(1 + i)²⁰⁰⁶ =

= 2¹⁰⁰³(0 – i) = –2¹⁰⁰³i.

3. Найти сумму
Возьмем число z = 1 + i и возведем его в степень 100: (1 + i)¹⁰⁰=

Степени числа i повторяются через 4:
i⁰ = 1 = i⁴ = i⁸, …
i¹ = i = i⁵ = i⁹, …
i² = –1 = i⁶ = i¹⁰, …
i³ = –i = i⁷ = i¹¹, …
Поэтому
Мы видим, что интересующее нас число является вещественной частью комплексного числа (1 + i)¹⁰⁰. Вычислим его по формуле Муавра:

Ответ: A = –2⁵⁰.
Одновременно мы получили, что число равно нулю.

Калькулятор для работы с комплексными числами в алгебраической форме

Изображение на весь экран - нажать клавишу F11

This calculator uses JavaScript, so you need to get Netscape Navigator 2.0, Microsoft Internet Explorer 3.0 or later! If you are using that software, you should enable JavaScript, and then reload this page. You can use the menu above to go to other pages in this site.

Калькулятор находится в свободном доступе. Сайт: http://www.alpertron.com.ar/CALC.HTM

Упражнение. Используя инструмент (приближённых) вычислений с комплексными числами, выполните следующие задания (выполнение бинарных операций делается так: ввести первое число, нажать ENTER, ввести второе число, ввести знак операции).

1. Используя операции возведения числа в степень, возведите 1+i во вторую, третью, четвёртую, шестую и 32 и 81 степень, предварительно предсказав результат (в частности, указав когда вещественная или мнимая часть будут равны нулю).

2. Продолжите возведение 1+i в степень, используя операцию умножения памяти на число (M*) и извлечения результата из памяти (MR). Например, для возведения 1+i в 7 степень надо ввести число 1+i, затем нажать M+, а затем 6 раз кнопку M*, для просмотра результата вызвать результат из памяти кнопкой MR. Продолжайте предсказывать результат.

<< назад вперед >>

В оглавление модулей / В расписание уроков