Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 

Решение неравенства

1. Общие приемы
Решение неравенств (так же, как и решение уравнений) обычно распадается на два шага – преобразование неравенства к одному из стандартных и решение стандартного неравенства. К стандартным неравенствам мы отнесем следующие типы ранее изученных неравенств (из возможных четырех знаков неравенства используем один):

1. Линейное неравенство  
2. Квадратное неравенство 
3. Степенное неравенство  
4. Показательное неравенство  
5. Логарифмическое неравенство  

Так же как и для уравнений, при решении неравенств помогает разложение на множители. Решение неравенства вида    можно заменить решением двух систем неравенств:
  и 


В то же время если множители    или    являются линейными или произведениями линейных, то не стоит сводить решение неравенства к системе: проще применить метод интервалов, который сильно сокращает количество вычислений.
Важнейшим методом решения неравенств является метод замены неизвестного. Проиллюстрируем его примером решения неравенства
Сделаем замену    тогда    и неравенство примет вид  
 

Изобразим график квадратного трехчлена  

Решением неравенства   как видно из графика, является объединение двух отрезков    и    где  z1  и  z4  – решения уравнения  y = -14, a  z2  и  z3 – решения уравнения  y = -24.  Решая эти уравнения, находим  z1 = 1,  z2 = 2,  z3 = 6,  z4 = 7.  Учитывая, что функция является возрастающей, решаем стандартные неравенства и записываем ответ:

2. Примеры решения неравенств

1) Алгебраическое неравенство:


Перенесем правую часть влево и приведем дроби к общему знаменателю:

 



Применяя метод интервалов,

решаем неравенство и получаем ответ:  

2) Иррациональное неравенство: 

Если иррациональное уравнение мы смело возводили в квадрат, так как всегда можно было проверять нарушение равносильности, подставляя корни полученного уравнения, то при решении неравенства нужно поступать аккуратнее.
Заметим, что неравенство    где    является всегда верным, какие бы значения указанных знаков ни подставляли вместо    и    Поэтому, если    то неравенство    будет верным. Итак, все отрицательные числа, входящие в ОДЗ, будут решениями неравенства. Нанесем их на числовую ось, Пусть    Возведение в квадрат теперь не нарушает равносильности:  
Корни квадратного трехчлена    наносим на числовую ось.
Решением неравенства будут числа  
Ответ: 

3) Логарифмическое неравенство


Сначала преобразуем правую часть:


Стандартное логарифмическое неравенство 
равносильно системе 


Решаем каждое неравенство системы методом интервалов, предварительно сделав преобразования:


Корни числителя:    Решение системы неравенств изображено на рисунке:



Ответ: 
 

Графическое решение неравенства

Упражнение. Манипулятор показывает структуру решения неравенства  sin x ≥ kx  на промежутке  [-6; 6]  при изменении параметра  k. Используя манипулятор, выполните следующие задания.

1. При каких значениях  k  решением неравенства  sin x ≥ kx  (на всей оси) будет положительная полуось? отрицательная полуось?

2. При каких значениях  k  решением неравенства  sin x ≥  kx  (на отрезке  [-6; 6])  будет один отрезок? два отрезка? три отрезка?
 
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков