Одним из способов решения систем является
способ подстановки.
Рассмотрим, например, систему двух уравнений с
двумя неизвестными
x и
y. Часто удается одно
уравнение преобразовать так, чтобы одно неизвестное явно выражалось
как функция другого. Тогда, подставляя его во второе уравнение, мы
получим уравнение с одним неизвестным.
Примеры
1.
2.
3.
4.
В каждой из четырех систем второе уравнение системы
можно решить относительно
т.е. преобразовать к виду
Подставляя
в первое уравнение системы, получим уравнение с одним
неизвестным:
Решая уравнение, находим его корни – значения неизвестного
а затем для каждого из них находим соответствующее
значение по формуле
Уравнение имеет четыре корня, а система – четыре решения:
Замечание.Способ
подстановки возможен не всегда, а кроме того, не всегда выгоден и
тогда, когда возможен. Часто из уравнений системы удается получить
новое уравнение – их следствие – более простого вида.
Так,
в четвертом примере можно, исключив произведение
ху,
стоящее справа,
получить
Последнее соотношение является линейным, и из него соотношение между
х и
у легче находится так:
у = 2х.
Важным приемом, часто позволяющим упростить систему, является замена
неизвестных. Так, во втором примере полезно заменить
х2 на
z и получить более простую систему:
Калькулятор для нахождения координат центра окружности и её радиуса по
координатам трёх точек окружности
Скрипт разрешён к
модификации и свободному распрстранению.
Упражнение.
Используя калькулятор "решения окружности",
выполните следующие задания.
1.Напишите систему из трёх уравнений,
связывающие переменные x0,
y0,
Rна основе уравнения
окружности(x-x0)2+(y-y0)2=
R2, проходящей через точки
(-8; 0), (0;
6), (8; 0). Для
этого подставьте в уравнение вместо значений x, yих значения (для каждой из трёх точек).
2.Решите полученную систему методами замены
переменной и подстановки и проверьте результат с помощью
калькулятора.
3. Напишите систему уравнений для нахождения
центра и радиуса окружности, проходящей через точки (-1; 1), (0;
-1), (2; -5). Попробуйте решить
её. С какой проблемой вы сталкиваетесь? Сделайте эксперимент на
калькуляторе. Дайте результату геометрическое объяснение.
