Постановка проблемы. Предложенный в учебнике пример показывает, что значения переменных могут определяться их физическим смыслом:
Пример. R радиус круга. Ясно, что R может принимать только положительные значения, т. е. .
Динамическая иллюстрация зависимости
В математике ограничения на значения переменных могут задаваться с помощью использования операций, определенных не для всех чисел. Например, вводя систему координат с началом в центре круга, радиус круга можно записать по теореме Пифагора как , где x и y – координаты любой точки окружности. Поскольку значения корня всегда неотрицательные, то и радиус не может принимать отрицательных значений (остается случай так называемого «вырожденного» круга при R = 0 который при желании можно отнести как к допустимым, так и недопустимым значениям).
Верно ли, что следующее равенство является тождеством?
В Википедии находим определение тождества:
«Тождество (в математике) — равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных».
В нашем примере допустимые значения для правой части – числа от -1 до 1, а левой – числа больше или равные 1 и меньше или равные -1. Таким образом допустимыми для обеих частей являются только -1 и +1. Для этих значений обе части уравнения равны 0. Значит, оно является тождеством!
Задание. Найдите другие занимательные тождества и дайте доказательство их истинности!
