Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 

ЗАДАНИЕ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ЛЕМНИСКАТЫ БЕРНУЛЛИ

 
Постановка проблемы. Предложенный в учебнике пример лемнискаты Бернулли не содержит характеристик графика этой кривой:

Пример.
На рисунке изображена лемниската Бернулли – график зависимости  .

 
    Динамическая иллюстрация зависимости

Цель работы.
Исследовать углы, под которыми лемниската Бернулли «входит» в начало координат.

 

Задания.

1) Определите углы, под которыми ветви кривой входят в начало координат.Для этого с помощью бесплатной программы для символьных вычислений Maxima (которая используется в нашем проекте для проведения исследовательских работ (см. ссылки)), заполните таблицу.
 

y

Корни уравнения, где  x – неизвестное, а вместо y подставляются конкретные значения:

Отношение

0.5

allroots((x^2+0.5^2)^2=2*(x^2-0.5^2));

заполнить
0.2 allroots((x^2+0.2^2)^2=2*(x^2-0.2^2)); заполнить

0.1

allroots((x^2+0.1^2)^2=2*(x^2-0.1^2)); заполнить

0.01

allroots((x^2+0.01^2)^2=2*(x^2-0.01^2));

заполнить

Замечание. Обратите внимание, что количество корней в каждом случае будет равно четырем (это следует из общей теории многочленов (см. ссылку)).  Вы должны выбрать два нужных.

2) Объясните на графике смысл вычислений, проведенных в таблице выше. Приведите рисунки, иллюстрирующие ваши рассуждения.

3) В качестве другого варианта решения поставленной задачи  заполните другую таблицу.

x

Корни уравнения, где  y – неизвестное, а вместо x подставляются конкретные значения:

Отношение

0.5

allroots((0.5^2+y^2)^2=2*(0.5^2-y^2));

заполнить
0.2 allroots((0.2^2+y^2)^2=2*(0.2^2-y^2)); заполнить

0.1

allroots((0.1^2+y^2)^2=2*(0.1^2-y^2)); заполнить

0.01

allroots((0.01^2+y^2)^2=2*(0.01^2-y^2));

заполнить

Замечание. Обратите внимание, что количество корней в каждом случае будет равно четырем (это следует из общей теории многочленов (см. ссылку) – вы должны выбрать два нужных. Два корня будут комплексными, о комплексных числах мы узнаем позже (см. ссылку).

4)      Объясните на графике смысл вычислений, проведенных в таблице выше. Приведите рисунки, иллюстрирующие ваши рассуждения.

5*)    [Заглядывая вперед ], найдите координаты самых «высоких» и самых «низких» точек графика; для этого можно использовать тригонометрические соображения (ссылка) или понятие производной (ссылка).

6*)      Попробуйте придумать уравнения, определяющие кривые с большим числом лепестков.

7**)     [Заглядывая вперед], попробуйте найти связь между степенью многочленов от двух переменных и количеством лепестков.

Работы учеников.
<< назад               вперед >>
В оглавление модулей / В расписание уроков