Постановка проблемы. Предложенный в учебнике пример лемнискаты Бернулли не содержит характеристик графика этой кривой:
Пример.
На рисунке изображена лемниската Бернулли – график зависимости .
Динамическая иллюстрация зависимости
Цель работы.
Исследовать углы, под которыми лемниската Бернулли «входит» в начало координат.
Задания.
1) Определите углы, под которыми ветви кривой входят в начало координат.Для этого с помощью бесплатной программы для символьных вычислений Maxima (которая используется в нашем проекте для проведения исследовательских работ (см. ссылки)), заполните таблицу.
y
Корни уравнения, где x – неизвестное, а вместо y подставляются конкретные значения:
Отношение
0.5
allroots((x^2+0.5^2)^2=2*(x^2-0.5^2));
заполнить
0.2
allroots((x^2+0.2^2)^2=2*(x^2-0.2^2));
заполнить
0.1
allroots((x^2+0.1^2)^2=2*(x^2-0.1^2));
заполнить
0.01
allroots((x^2+0.01^2)^2=2*(x^2-0.01^2));
заполнить
Замечание. Обратите внимание, что количество корней в каждом случае будет равно четырем (это следует из общей теории многочленов (см. ссылку)). Вы должны выбрать два нужных.
2) Объясните на графике смысл вычислений, проведенных в таблице выше. Приведите рисунки, иллюстрирующие ваши рассуждения.
3) В качестве другого варианта решения поставленной задачи заполните другую таблицу.
x
Корни уравнения, где y – неизвестное, а вместо x подставляются конкретные значения:
Отношение
0.5
allroots((0.5^2+y^2)^2=2*(0.5^2-y^2));
заполнить
0.2
allroots((0.2^2+y^2)^2=2*(0.2^2-y^2));
заполнить
0.1
allroots((0.1^2+y^2)^2=2*(0.1^2-y^2));
заполнить
0.01
allroots((0.01^2+y^2)^2=2*(0.01^2-y^2));
заполнить
Замечание. Обратите внимание, что количество корней в каждом случае будет равно четырем (это следует из общей теории многочленов (см. ссылку) – вы должны выбрать два нужных. Два корня будут комплексными, о комплексных числах мы узнаем позже (см. ссылку).
4) Объясните на графике смысл вычислений, проведенных в таблице выше. Приведите рисунки, иллюстрирующие ваши рассуждения.
5*) [Заглядывая вперед ], найдите координаты самых «высоких» и самых «низких» точек графика; для этого можно использовать тригонометрические соображения (ссылка) или понятие производной (ссылка).
6*) Попробуйте придумать уравнения, определяющие кривые с большим числом лепестков.
7**) [Заглядывая вперед], попробуйте найти связь между степенью многочленов от двух переменных и количеством лепестков.
