Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА.
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ f(x+y)=f(x)f(y)
Постановка проблемы.  Может ли определением показательной функции служить функциональное уравнение
f(x+y)=f(x)f(y)?

Пример. Обратите внимание на то, что, зная одни значения, можно найти другие.

Например, если мы уже нашли, что f(1)=3, то

  1. f(2) = f(1+1)= f(1)f(1) = 32 = 9
  2. f(1) = f(1+0) = f(1)f(0), разделив на f(1) получим f(0) = 1
  3. f(0) = f(-1+1) = f(-1)f(1), разделив на f(1) получим f(-1) = 1/f(1) = 1/3
  4. f(1) = f( 1/2 + 1/2 ) = f(1/2)f(1/2) = f(1/2) 2, откуда f(1/2) равно корню квадратному из 3.
Заметим, что такие же значения имеет функция y= 3x.

Задание. В условиях предположения f(1)=3 найдите следующие значения.

  1. f(3)
  2. f(-1/2)
  3. f(1/3)
  4. Можно ли отказаться от предположения f(1)=3, выведя это равенство из исходного уравнения?
  5. Как надо расширить определение?
  6. *Опишите множество чисел, для которых можно вычислить значения функции, используя описанные выше приемы.
  7. *Попробуйте найти f(31/2)
  8. *Достаточно ли одного функционального равенства f(x+y) =f(x)f(y), чтобы найти значение в пункте 4*.
  9. *Какое условие надо добавить на функцию, чтобы можно было однозначно определить это значение.
Попробуйте записать свое исследование в форме диалога, как это было принято у мыслителей Древней Греции (см., например, Диалоги Платона) : выдвигайте и обосновывайте свои доводы (один участник диалога), пытайтесь опровергнуть выдвинутые доводы, приводя опровергающие примеры (другой участник диалога).
После того, как диалог записан, сделайте библиографический поиск, используя справочники, в том числе в сети Интернет, и проверьте результаты Вашего исследования. Если будут разногласия, обдумайте их и завершите запись диалога.
 
Работы учеников
<< назад               вперед >>
В оглавление / В расписание уроков