ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАБОРА ЧИСЕЛ.
Постановка проблемы. Как определить среднее значение набора чисел? Есть много различных определений среднего, которые называются модой, медианой, средним арифметическим и пр. Представим числа точками вещественной оси. Тогда естественным будет определить среднее как точку, расстояние до которой от всех точек набора минимально. Чем хорошо, а чем плохо это определение?
Пример.
Данная динамическая модель позволяет исследовать расстояние от точки X прямой до точек A, B, C, D.
Цель работы. Сравнить два определения
среднего набора чисел, как числа, сумма расстояний которого от
чисел набора минимальна и как числа,
сумма квадратов расстояний которого от
чисел набора минимальна.
Задания.
Расставьте точки A, B, C, D в указанном порядке так, чтобы точка A имела координату (-5), точка D - координату 5, точка B находилась примерно посередине между точками A и O (началом координат), а точка C - примерно посередине между точками O и D.
Поместите точку X в начало координат и проанализируйте величину суммы расстояний точек A, B, C и D от точки X.
Чему равно это расстояние?
Каков ожидаемый Вами результат?
Можно ли утверждать, что точки B и C оказались посередине соответствующих отрезков?
Если нет, то подправьте их положения так, чтобы значение y при выбранном положении точек не противоречило теоретически предсказанному результату.
Достаточно ли одного этого измерения, чтобы утверждать, что точки B и C попали на середины отрезков AO и OD соответственно?
Переместите точку X сначала в точку A, а затем в точку D. Сравните результаты. Сделайте вывод о том, как могут быть расположены точки B и C относительно середин отрезков AO и OD.
Задания.
Делая эксперименты, Вы уже наверное обратили внимание, что на одном из отрезков функция y постоянна.
Объясните полученный результат.
Сформулируйте теорему о величине среднего для четырех различных чисел, если среднее определять как описано выше.
Является ли так определенное значение среднего единственным?
Совместите точки B и C и найдите среднее для этого случая.
Чем отличается вычисляемое значение y от суммы расстояний до трех точек: A, D и точки, в которой совместились B и C?
Сформулируйте и докажите теорему о среднем для трех чисел (где среднее определяется как описано выше).
Является ли среднее в данном случае единственным?
Обобщите результат на случай n различных чисел.
Обобщите результат на общий случай n произвольных чисел.
Пример.
Данная динамическая модель позволяет исследовать среднее чисел, изображаемых точками A, B, C, D, когда в приведенном выше определении расстояния вместо суммы расстояний берется сумма квадратов расстояний от точки X до точек A, B, C, D.
Задание.
Проведите описанные выше эксперименты и сделайте вывод об однозначности нового среднего.
*Попробуйте найти формулу для вычисления нового среднего.
Можно ли утверждать, что оно совпадает со средним арифметическим чисел набора?