Изображение на весь экран - нажать клавишу F11
 
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ НАБОРА ЧИСЕЛ.
Постановка проблемы.  Как определить среднее значение набора чисел?  Есть много различных определений среднего, которые называются модой, медианой, средним арифметическим и пр.  Представим числа точками вещественной оси.  Тогда естественным будет определить среднее как точку, расстояние до которой от всех точек набора минимально.  Чем хорошо, а чем плохо это определение?
Пример.

Данная динамическая модель позволяет исследовать расстояние от точки X прямой до точек A, B, C, D.

 

Цель работы.  Сравнить два определения среднего набора чисел, как числа, сумма расстояний которого от чисел набора минимальна и как числа, сумма квадратов расстояний которого от чисел набора минимальна.

Задания.

  1. Расставьте точки A, B, C, D в указанном порядке так, чтобы точка A имела координату (-5), точка D - координату 5, точка B находилась примерно посередине между точками A и O (началом координат), а точка C - примерно посередине между точками O и D.
  2. Поместите точку X в начало координат и проанализируйте величину суммы расстояний точек A, B, C и D от точки X.
    • Чему равно это расстояние?
    • Каков ожидаемый Вами результат?
    • Можно ли утверждать, что точки B и C оказались посередине соответствующих отрезков?
    • Если нет, то подправьте их положения так, чтобы значение y при выбранном положении точек не противоречило теоретически предсказанному результату.
    • Достаточно ли одного этого измерения, чтобы утверждать, что точки B и C попали на середины отрезков AO и OD соответственно?
    • Переместите точку X сначала в точку A, а затем в точку D. Сравните результаты. Сделайте вывод о том, как могут быть расположены точки B и C относительно середин отрезков AO и OD.

 

Задания.

  1. Делая эксперименты, Вы уже наверное обратили внимание, что на одном из отрезков функция y постоянна.
    • Объясните полученный результат.
    • Сформулируйте теорему о величине среднего для четырех различных чисел, если среднее определять как описано выше.
    • Является ли так определенное значение среднего единственным?
  2. Совместите точки B и C и найдите среднее для этого случая.
    • Чем отличается вычисляемое значение y от суммы расстояний до трех точек: A, D и точки, в которой совместились B и C?
    • Сформулируйте и докажите теорему о среднем для трех чисел (где среднее определяется как описано выше).
    • Является ли среднее в данном случае единственным?
  3. Обобщите результат на случай n различных чисел.
  4. Обобщите результат на общий случай n произвольных чисел.
 

Пример.

Данная динамическая модель позволяет исследовать среднее чисел, изображаемых точками A, B, C, D, когда в приведенном выше определении расстояния вместо суммы расстояний берется сумма квадратов расстояний от точки X до точек A, B, C, D.



 

Задание.
  1. Проведите описанные выше эксперименты и сделайте вывод об однозначности нового среднего.
  2. *Попробуйте найти формулу для вычисления нового среднего.
    • Можно ли утверждать, что оно совпадает со средним арифметическим чисел набора?
    • Докажите или опровергните это утверждение.
Работы учеников.
<< назад               вперед >>
В оглавление / В расписание уроков